7. Determine uma função potencial para cada campo gradiente F dado

f.

F(x, y, z) = (y * sen(z), x * sen(z), x * y * cos(z))

Passo 1

Oiii, esse exercício afirma para a gente que nosso campo vetorial é conservativo e que admite uma função potencial. Logo podemos fazer a seguinte relação

F = ∇ U

F = ∂ U ∂ x , ∂ U ∂ y

Então basicamente para achar os campos conservativos, teremos que integrar parcialmente as componentes de F. Um ponto importante é que ao finalizarmos nosso processo de integração indefinida teremos uma constante arbitraria C . E como estamos descobrindo uma função potencial, o zero da nossa função é completamente arbitrário. Logo é Irrelevante o valor de C. Então por conveniência dizemos que

C = 0

Se você sentir alguma dúvida de como isso funciona, no item 7a eu vou passo-a-passo. É só retornar lá e conferir. Beleza? Partiu cair dentro então!!! \o/

Passo 2

No nosso caso temos a seguinte função

F x , y , z = y sen ⁡ z ,   x sen ⁡ z ,   x y cos ⁡ z

Vamos integrar em relação a x primeiro.

U x =   y sen ⁡ z

𝑈=𝑥𝑦 sen𝑧 U = x y sen ⁡ z + g y , z  

Como toda integração indefinida gera uma constante arbitraria, temos que adicionar essa constante. E como ( y , z ) são nossas constantes nessa integral parcial, então essas “constantes” serão (se existir) uma função que depende apenas de ( y , z ) , pois

d d x   g ( y , z ) = 0

Beleza ! Vamos integrar agora em relação a y

U y =   x sen ⁡ z

𝑈=𝑥𝑦 sen𝑧 U = x y sen ⁡ z + h z

Por fim, falta apenas integrar em z

U z = x y cos ⁡ z

U = x y sen ⁡ z + C

Se compararmos as 3 integrais parciais vemos o seguinte

U = x y sen ⁡ z + g y , z  

U = x y sen ⁡ z + h z

U = x y sen ⁡ z + C

Logo se subtrairmos uma equação da outra, percebemos que

g y , z = h z = C = 0

Logo nossa função potencial é

U = x y sen ⁡ z

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

U = x y sen ⁡ z

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