Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 7f
7. Determine uma função potencial para cada campo gradiente F dado
f.
Passo 1
Oiii, esse exercício afirma para a gente que nosso campo vetorial é conservativo e que admite uma função potencial. Logo podemos fazer a seguinte relação
Então basicamente para achar os campos conservativos, teremos que integrar parcialmente as componentes de F. Um ponto importante é que ao finalizarmos nosso processo de integração indefinida teremos uma constante arbitraria . E como estamos descobrindo uma função potencial, o zero da nossa função é completamente arbitrário. Logo é Irrelevante o valor de C. Então por conveniência dizemos que
Se você sentir alguma dúvida de como isso funciona, no item 7a eu vou passo-a-passo. É só retornar lá e conferir. Beleza? Partiu cair dentro então!!! \o/
Passo 2
No nosso caso temos a seguinte função
Vamos integrar em relação a x primeiro.
𝑈=𝑥𝑦sen𝑧
Como toda integração indefinida gera uma constante arbitraria, temos que adicionar essa constante. E como são nossas constantes nessa integral parcial, então essas “constantes” serão (se existir) uma função que depende apenas de , pois
Beleza ! Vamos integrar agora em relação a y
𝑈=𝑥𝑦sen𝑧
Por fim, falta apenas integrar em z
Se compararmos as 3 integrais parciais vemos o seguinte
Logo se subtrairmos uma equação da outra, percebemos que
Logo nossa função potencial é
Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/
Te vejo na próxima resolução
: )