Para quais valores de m a reta y = m x e a curva y = x x 2 + 1 delimitam uma região? Encontre a área da região.

Passo 1

Opa! Bora resolver esse problema! Temos a curva:

y = x x 2 + 1

E a reta:

y = m x

O enunciado pergunta pra que valores de m a reta e a curva acima delimitam uma região.

Pra isso precisamos encontrar os pontos de interseção. Dessa forma:

m x = x x 2 + 1

x m x 2 + 1 = x

x m x 2 + m = x

x m x 2 + m - x = 0

x m x 2 + m - 1 = 0

Passo 2

Resolvendo:

x = 0

Ou:

m x 2 + m - 1 = 0

Assim:

x = 0

x 2 = 1 - m m

x = ± 1 m - 1

Essa raiz deve ser maior que zero, então:

1 m - 1 ≥ 0

1 m ≥ 1

0 ≤ m ≤ 1

Mas quando m = 0 e m = 1 não temos reta! Teríamos y = 0 x . Dessa forma temos que m deve estar no intervalo 0 < m < 1 para que haja solução.

Passo 3

Utilizando os conceitos de área entre curvas, podemos escrever a seguinte integral

A = 2 ∫ 0 1 m - 1 x x 2 + 1 - m x d x = 2 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 - 1 2 m x 2 0 1 m - 1

A = ln ⁡ 1 m - 1 + m

Resposta

A = ln ⁡ 1 m - 1 + m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados