Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.2 - Ex. 21
Sejam e contínuas em e tais que para todo racional. Prove que para todo real.
Passo 1
Como é contínua em , por definição temos que para todo existe tal um qualquer do domínio, a função é contínua em se:
E se
E de modo análogo, o mesmo vale para :
Passo 2
Supondo que é racional, ou seja, temos que a vizinhança de terá infinitos números irracionais, então no intervalo de até temos pelo menos um número irracional e pelo teorema da conservação do sinal, existirá tal que nesse intervalo.
Dizer que para um irracional é um absurdo já que pelo teorema da conservação do sinal, existirá tal que para e sabemos que nesse intervalo temos pelo menos um número racional e nesse ponto o valor de não satisfaz .
Logo, se adotarmos , a função não será contínua, mas como o enunciado determina que e são contínuas em , temos que ter, obrigatoriamente,.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)