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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.2 - Ex. 23

Seja f (x) = x + (1)/(x) . Prove

a) |f (x) - f (1)| <= (1 + (1)/(x)) |x - 1| para x > 0

b) |f (x) - f (1)| <= 3 |x - 1| para x > (1)/(2)

c) f é contínua em p = 1

Passo 1

Opa! Vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá a seguinte função:

f (x) = x + (1)/(x)

E pede pra a gente provar algumas coisas! Vamos começar com a letra (a):

|f (x) - f (1)| <= (1 + (1)/(x)) |x - 1| para x > 0

Vamos substituir f ( x ) e f ( 1 ) na parte esquerda da inequação:

|x + (1)/(x) - (1 + (1)/(1))| = |x + (1)/(x) - 2|

Manipulando um pouquinho, temos:

|x + (1)/(x) - 2| = |(x^2 + 1 - 2 x)/(x)| = |((x - 1)^2)/(x)| = |(x - 1)/(x)| |x - 1|

Voltando pra expressão original:

|(x - 1)/(x)| |x - 1| <= (1 + (1)/(x)) |x - 1| p a r a x > 0

Podemos cortar o |x - 1| e teremos:

|(x - 1)/(x)| <= 1 + (1)/(x) p a r a x > 0

Manipulando:

|(x - 1)/(x)| <= (x + 1)/(x) p a r a x > 0

|x - 1| <= x + 1 p a r a x > 0

Quando x = 0 temos que:

|x - 1| = x + 1

Quando x > 1 temos que:

|x - 1| < x + 1

Dessa forma provamos que:

|(x - 1)/(x)| |x - 1| <= (1 + (1)/(x)) |x - 1| p a r a x > 0

Passo 2

Para a letra (b) a gente tem que provar que:

|f (x) - f (1)| <= 3 |x - 1| para x > (1)/(2)

Como provamos que:

|f (x) - f (1)| <= (1 + (1)/(x)) |x - 1|

E temos agora que x > (1)/(2) , então:

x > (1)/(2)

(1)/(x) < 2

1 + (1)/(x) < 1 + 2

(1 + (1)/(x)) < 3

(1 + (1)/(x)) |x - 1| < 3 |x - 1|

Se |f (x) - f (1)| <= (1 + (1)/(x)) |x - 1| :

|f (x) - f (1)| <= (1 + (1)/(x)) |x - 1| < 3 |x - 1|

Logo, provamos que:

|f (x) - f (1)| <= 3 |x - 1|

Passo 3

Finalmente vamos pra (c), aqui precisamos provar que f é contínua em p = 1 . Lembrando que:

f (x) = x + (1)/(x)

p aqui é valor qualquer em que x pode assumir, então queremos provar que f ( x ) é contínua em x = 1 . Vamos usar a definição formal de continuidade pra isso:

Para cada ϵ > 0 dado, temos um delta > 0 (com delta dependendo apenas de ϵ ), tal que:

1 - delta < x < 1 + delta -> f (1) - ϵ < f (x) < f (1) + ϵ

Mas, concorda comigo que se g (x) = (1)/(x) é contínua em p = 1 , então f (x) também será contínua nesse ponto?!

Então vamos partir de g ( x ) , beleza?

O ϵ > 0 é dado, queremos achar delta > 0 . Devemos determinas delta > 0 de modo que g (x) permaneça entre g (1) - ϵ e g (1) + ϵ para x entre 1 - delta e 1 + delta . Vamos então resolver a inequação:

g (1) - ϵ < g (x) < g (1) + ϵ

Temos:

g (1) = (1)/(1) = 1

Logo:

1 - ϵ < (1)/(x) < 1 + ϵ

Invertendo todos os membros da desigualdade temos que:

(1)/(1 + ϵ) < x < (1)/(1 - ϵ)

Assim temos:

(1)/(1 + ϵ) < x < (1)/(1 - ϵ)

Dado ϵ > 0 e tomando-se delta = 1 - (1)/(1 + ϵ) ficamos com:

1 - delta < x < 1 + delta -> g (1) - ϵ < g (x) < g (1) + ϵ

Então g ( x ) é contínua em p = 1 , portanto f ( x ) é contínua em p = 1 .

Resposta

Desenvolvimento Acima

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