Sejam F → e G → definidas e deriváveis no intervalo I e com valores em R^n . Suponha que para todo t ∈ I

dF/dt(t) = dG/dt(t)

Prove que existe um vetor c → = (c1, c2, …, cn) ∈ R^n tal que

G(t) = F(t) + c

para todo t ∈ I .

Passo 1

Vamos assumir que F → t = F 1 , F 2 , … , F n e G → t = G 1 , G 2 , … , G n , então se

d F → d t t = d G → d t t

então podemos afirmar que

F i ' t = G i ' t ,     i = 1,2 , … , n

Se integrarmos em ambos os lados, ficamos com

∫ F i ' t   d t = ∫ G i ' t   d t

F i t + M i = G i t + N i

Onde M e N são constantes reais.

Passo 2

Podemos juntar as duas constantes em uma constante só, se dissermos que c i = M i - N i

F i t + M i - N i = G i t

F i t + c i = G i t

E isso vale para i = 1,2 , … , n , então podemos escrever G → como sendo

G → t = G 1 , G 2 , … , G n

G → t = F 1 + c 1 , F 2 + c 2 , … , F n + c n

Podemos separar em dois vetores

G → t = F 1 , F 2 , … , F n + c 1 , c 2 , … , c n

G → t = F → t + c →

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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