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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.4 - Ex. 2c

Sejam F → = F 1 , F 2 , … , F n ,   G → = G 1 , G 2 , … , G n duas funções de uma variável real a valores em R n e f uma função de uma variável real a valores reais. Suponha que lim t → t 0 ⁡ F → = a → , lim t → t 0 ⁡ G → = b → e lim t → t 0 ⁡ f t = L , onde a → = a 1 , a 2 , … , a n ,   b → = b 1 , b 2 , … , b n e L real. Prove:

lim t → t 0 ⁡ F → t × G → t = a → × b →   ( n = 3 )

Passo 1

Se temos que calcular o seguinte limite

lim t → t 0 ⁡ F → t × G → t

Vamos primeiro entender o que é a função

F → t × G → t = i → j → k → F 1 F 2 F 3 G 1 G 2 G 3

= F 2 G 3 - F 3 G 2 i → + F 3 G 1 - F 1 G 3 j → + F 1 G 2 - F 2 G 1 k →

Calculando coordenada por coordenada, temos os limites

lim t → t 0 ⁡ F i G j - F j G i

Pela propriedade dos limites podemos dizer que

lim t → t 0 ⁡ F i G j - F j G i = lim t → t 0 ⁡ F i G j - lim t → t 0 ⁡ F j G i

= lim t → t 0 ⁡ F i lim t → t 0 ⁡ G j - lim t → t 0 ⁡ F j ⋅ lim t → t 0 ⁡ G i

Se os dois limites convergirem. No enunciado foi dado que lim t → t 0 ⁡ F → = a → , então

lim t → t 0 ⁡ F i = a i

E que lim t → t 0 ⁡ G → = b → , resultando em

lim t → t 0 ⁡ G i = b i

Logo

lim t → t 0 ⁡ F i lim t → t 0 ⁡ G j = a i b j

E

lim t → t 0 ⁡ F j lim t → t 0 ⁡ G i = a j b i

Na subtração

lim t → t 0 ⁡ F i lim t → t 0 ⁡ G j - lim t → t 0 ⁡ F j ⋅ lim t → t 0 ⁡ G i = a i b j - a j b i

E temos

lim t → t 0 ⁡ F → t × G → t = a 2 b 3 - a 3 b 2 i → + a 3 b 1 - a 1 b 3 j → + a 1 b 2 - a 2 b 1 k →

= i → j → k → a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = a → × b →

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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