Suponha que no exercício 7. Mostre que f assume um valor máximo e mínimo em A.

(Sugestão: Veja Apêndice A2.4 do vol. 1 )

Como é limitada, existe, então o conjunto

É limitado. Então, existem e tais que e e . Nosso objetivo é mostrar que e pertencem à

Suponha que ou seja,

Então, para todo a função

Seria contínua em ,pois é o quociente de funções contínuas, sem problemas no denominador, já que m pois Mas não é limitada em , pois caso contrário, existiria tal que

Daí,

O que implicaria em

E isso nos dá problema, pois deixaria de ser supremo de .

Logo, é ilimitada, o que é uma contradição, já que

Portanto, segue que . Consequentemente, é o máximo do conjunto.

Da mesma forma, suponha que . Ou seja,

Então, para todo a função

Seria contínua em ,pois é o quociente de funções contínuas, sem problemas no denominador, já que m pois Mas não é limitada em , pois caso contrário, existiria tal que

Daí,

O que implicaria em

E isso nos dá problema, pois deixaria de ser ínfimo de .

Logo, é ilimitada, o que é uma contradição, já que

Portanto, segue que . Consequentemente, é o mínimo do conjunto.