Suponha que f é no exercício 7. Mostre que f assume um valor máximo e mínimo em A.

(Sugestão: Veja Apêndice A2.4 do vol. 1 )

Passo 1

Como f é limitada, existe, então o conjunto

B = f x , y x , y ∈ A }

É limitado. Então, existem m 1 e m 2 tais que m 1 = sup ⁡ B e e m 2 = inf ⁡ B . Nosso objetivo é mostrar que m 1 e m 2 pertencem à B .  

Suponha que m 1 ∉ B ou seja,

f x , y <   m 1

Então, para todo ( x , y ) a função

g x , y = 1 m 1 - f x , y ; x , y ∈ A

Seria contínua em A ,pois é o quociente de funções contínuas, sem problemas no denominador, já que f x , y ≠ m 1 m pois m 1 ∉ B .   Mas g não é limitada em A , pois caso contrário, existiria β > 0 tal que ∀ x , y ∈ A

0 ≤ 1 m 1 - f x , y < β

Daí,

m 1 -   f x , y > 1 β

O que implicaria em

  f x , y < m 1 - 1 β

E isso nos dá problema, pois m 1 deixaria de ser supremo de A .

Logo, g é ilimitada, o que é uma contradição, já que

  g x , y = 1 m 1 - f x , y   ≤ 1

Portanto, segue que m 1 ∈ B . Consequentemente, m 1   é o máximo do conjunto.

Da mesma forma, suponha que m 2 ∉ B . Ou seja,

f x , y <   m 2

Então, para todo ( x , y ) a função

g x , y = 1 f x , y - m 2 ; x , y ∈ A

Seria contínua em A ,pois é o quociente de funções contínuas, sem problemas no denominador, já que f x , y ≠ m 1 m pois m 1 ∉ B .   Mas g não é limitada em A , pois caso contrário, existiria β > 0 tal que ∀ x , y ∈ A

0 ≤ 1 f x , y - m 2 < β

Daí,

  f x , y - m 2 > 1 β

O que implicaria em

  f x , y > m 2 - 1 β

E isso nos dá problema, pois m 2 deixaria de ser ínfimo de A .

Logo, g é ilimitada, o que é uma contradição, já que

  g x , y = 1 f x , y -   m 2 ≤ 1

Portanto, segue que m 2 ∈ B . Consequentemente, m 1   é o mínimo do conjunto.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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