Sejam dois campos vetoriais e um campo escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre e prove. (suponha ):
c)
Passo 1
Estamos supondo e vamos partir da hipótese de que as componentes admitam derivadas parciais.
O divergente de é:
Pela regra da cadeia isso é equivalente a:
Vamos reagrupar agora...
Beleza, um pause por aqui.
Passo 2
Olha só, do outro lado da igualdade a gente tem:
Sendo que: certo? Vamos ver o outro então...
Nesse pedacinho aqui:
Isso aqui é o vetor gradiente de multiplicado pelo vetor . Como ficaria isso?
Beleza, se multiplicarmos um vetor pelo outro, vira um produto interno, que dá o seguinte:
Passo 3
Ou seja...
Igualzinho o do outro lado da igualdade que a gente achou ali em cima. Está provado! 😉
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)