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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 1.4 - Ex. 9c

Sejam u → , v → : Ω ⊂ R 3 → R 3     dois campos vetoriais e φ : Ω → R um campo escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre φ ,   u → ,   v → e prove. (suponha u → = P i → + Q j → + R k →   e   v → = P 1 i → + Q 1 j → + R 1 k → ):

c) d i v   φ   u → = φ d i v   u → + ∇ φ   .   u →

Passo 1

Estamos supondo u → = P i → + Q j → + R k →   e   v → = P 1 i → + Q 1 j → + R 1 k → e vamos partir da hipótese de que as componentes admitam derivadas parciais.

O divergente de φ u → é:

∂ φ P ∂ x + ∂ φ Q ∂ y + ∂ φ R ∂ z

Pela regra da cadeia isso é equivalente a:

∂ P ∂ x φ + ∂ φ ∂ x P + ∂ Q ∂ y φ + ∂ φ ∂ y Q + ∂ R ∂ z φ + ∂ φ ∂ z R

Vamos reagrupar agora...

φ ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z + ∂ φ ∂ x P + ∂ φ ∂ y Q + ∂ φ ∂ z R

Beleza, um pause por aqui.

Passo 2

Olha só, do outro lado da igualdade a gente tem:

φ d i v   u → + ∇ φ   .   u →

Sendo que: φ d i v   u → = φ ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z certo? Vamos ver o outro então...

Nesse pedacinho aqui:

∇ φ   .   u →

Isso aqui é o vetor gradiente de φ   multiplicado pelo vetor u . Como ficaria isso?

∇ φ = ∂ φ ∂ x i → ,   ∂ φ ∂ y j → ,   ∂ φ ∂ z k →

u → = P i → + Q j → + R k →

Beleza, se multiplicarmos um vetor pelo outro, vira um produto interno, que dá o seguinte:

∂ φ ∂ x P + ∂ φ ∂ y Q + ∂ φ ∂ z R

Passo 3

Ou seja...

φ d i v   u → + ∇ φ   .   u → = φ ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z + ∂ φ ∂ x P + ∂ φ ∂ y Q + ∂ φ ∂ z R

Igualzinho o do outro lado da igualdade que a gente achou ali em cima. Está provado! 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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