Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 1.4 - Ex. 9c
Sejam dois campos vetoriais e um campo escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre e prove. (suponha ):
c)
Passo 1
Estamos supondo e vamos partir da hipótese de que as componentes admitam derivadas parciais.
O divergente de é:
Pela regra da cadeia isso é equivalente a:
Vamos reagrupar agora...
Beleza, um pause por aqui.
Passo 2
Olha só, do outro lado da igualdade a gente tem:
Sendo que: certo? Vamos ver o outro então...
Nesse pedacinho aqui:
Isso aqui é o vetor gradiente de multiplicado pelo vetor . Como ficaria isso?
Beleza, se multiplicarmos um vetor pelo outro, vira um produto interno, que dá o seguinte:
Passo 3
Ou seja...
Igualzinho o do outro lado da igualdade que a gente achou ali em cima. Está provado! 😉
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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11. Sejam f, g : Ω ⊂ ℝ3 → ℝ de classe C2 no aberto Ω. Seja B ⊂ Ω uma esfera e seja σ a fronteira de B, com normal exterior . Provec. ∫ ∫ σ f ∂ f ∂ n d S = ∫ ∫ ∫ B f ∇ 2 f + ∇ f 2d V
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Calcule ∬ S r o tF.nd s , Onde F x , y , z = 2 x y , 0 , - x z e S é o elipsoide de equação x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1 .