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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.4 - Ex. 2a

Sejam F → = F 1 , F 2 , … , F n ,   G → = G 1 , G 2 , … , G n duas funções de uma variável real a valores em R n e f uma função de uma variável real a valores reais. Suponha que lim t → t 0 ⁡ F → = a → , lim t → t 0 ⁡ G → = b → e lim t → t 0 ⁡ f t = L , onde a → = a 1 , a 2 , … , a n ,   b → = b 1 , b 2 , … , b n e L real. Prove:

lim t → t 0 ⁡ F → t + G → ( t ) = a → + b →

Passo 1

Se temos que calcular o seguinte limite

lim t → t 0 ⁡ F → t + G → t

Calculando coordenada por coordenada, temos os limites

lim t → t 0 ⁡ F i + G i

Pela propriedade dos limites podemos dizer que

lim t → t 0 ⁡ F i + G i = lim t → t 0 ⁡ F i + lim t → t 0 ⁡ G i

Se os dois limites convergirem. No enunciado foi dado que lim t → t 0 ⁡ F → = a → , então

lim t → t 0 ⁡ F i = a i

e foi dado também que lim t → t 0 ⁡ G → = b → , logo

lim t → t 0 ⁡ G i = b i

Então podemos afirmar que

lim t → t 0 ⁡ F i + G i = a i + b i

Portanto no limite ficaríamos com algo do tipo

lim t → t 0 ⁡ F → t + G → t = a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + b n

Podemos dividir isso na soma de dois vetores

lim t → t 0 ⁡ F → t + G → t = a 1 , a 2 , … , a n + b 1 , b 2 , … , b n

lim t → t 0 ⁡ F → t + G → ( t ) = a → + b →

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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