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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.3 - Ex. 3

Sejam f x , y = x 3 +   y 3 -   x 2 +   4 y e P 1 ( x , y ) o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de (1, 1). Mostre que para todo (x, y) com |x – 1|

f x ,   y -   P 1 x ,   y < 7 x - 1 2 +   6 y - 1 2

Passo 1

HI HI HI, vamos fazer mais uma, essa fala sobre polinômio de Taylor de ordem 1 ^^, usaremos apenas uma equação para resolve-la, é uma questão tranquila, vem comigo que é sucesso, primeiro, usaremos essa equação:

E x ,   y = 1 2   [ ∂ 2 f x - ,   y - ∂ x 2 * x - x 0 2 +   2 * ∂ 2 f x - ,   y - ∂ x y * x - x 0 * y - y 0 + ∂ 2 f x - ,   y - ∂ y 2 * y - y 0 2 ]

Muito grande, eu sei ;-; mas é o que temos, MAS POR QUE USAREMOS ISSO? Porque esse monstro equivale à f x ,   y -   P 1 x ,   y , ou seja, E x ,   y = f x ,   y -   P 1 x ,   y   , se não sabe do que estou falando, meu amigo....você ta longe de casa, procura umas aulas aí no Responde aí sobre Polinômio de Taylor, se não sabe disso, então procura logo calculo I, enfim, aos que ficaram, simbora resolver isso.

Passo 2

Temos que f x , y = x 3 +   y 3 -   x 2 +   4 y , primeiramente, faremos as derivadas parciais dessa função:

∂ 2 f x ,   y ∂ x 2 = 6 x - 2

∂ 2 f x ,   y ∂ y 2 = 6 y

∂ 2 f x ,   y ∂ x y = 0

Agora podemos aplicar cada um desses termos na equação 1, mas antes, vamos determinar o valor de x -   e   y - , sabemos que |x – 1| x   - –   1 |   <   1   e   | y   - –   1 |   <   1 , logo, usaremos   x - = 1   e   y - = 1 ...sim, quase me esqueço, a questão fornece os pontos iniciais de x e y, e ambos equivalem a 1, agora sim, estamos prontos para seguir em frente.

E x ,   y = 1 2   [ ∂ 2 f x - ,   y - ∂ x 2 * x - 1 2 +   2 * ∂ 2 f x - ,   y - ∂ x y * x - 1 * y - 1 + ∂ 2 f x - ,   y - ∂ y 2 * y - 1 2 ]

E x ,   y = 1 2   [   ( 6 x - - 2 ) * x - 1 2 +   6 y - * y - 1 2 ]

E x ,   y = 1 2   [     4 * x - 1 2 +   6 * y - 1 2 ]

f x ,   y -   P 1 x ,   y = | E x ,   y | =   | 2 x - 1 2 +   3 y - 1 2 |

Com isso, confirmamos que f x ,   y -   P 1 x ,   y < 7 x - 1 2 +   6 y - 1 2 .

É isso tudo por hoje galera, até mais, bons estudos, vlw flw ;)

Resposta

f x ,   y -   P 1 x ,   y = | E x ,   y | =   | 2 x - 1 2 +   3 y - 1 2 |

| 2 x - 1 2 +   3 y - 1 2 | < 7 x - 1 2 +   6 y - 1 2

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14.48. Se g x , y = x - y 2 , determine o vetor gradiente ∇ g 3 , - 1 e use-o para determinar a reta tangente à curva de nível da função g x , y = 2 no ponto 3 , - 1 . Esboce as curvas de nível, reta
Determinar o vetor gradiente das seguintes funções : f u , v , w = u v w + u 2 - v 2 - w 2
Determinar o vetor gradiente das seguintes funções : f x , y , z = x y z 2 + s e n x
Encontrar a equação da reta perpendicular a curva y= 1 x , nos pontos P 0 1,1eP 1 2 , 1 2 .
Determinar o plano que contém os pontos ( 1,1 , 0 )e( 2,1 , 4 ) que seja tangente ao gráfico de f x , y = x 2 + y 2