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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.3 - Ex. 14

A função z = z x , y é diferenciável e dada implicitamente pela equação x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 . Mostre que x 0 x a 2 + y 0 y b 2 + z 0 z c 2 = 1 é a equação do plano tangente no ponto x 0 , y 0 , z 0 ,   z 0 ≠ 0 .

Passo 1

Primeiramente, vamos isolar z na equação dada

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

z 2 c 2 = 1 - x 2 a 2 - y 2 b 2

z 2 = c 2 - c 2 a 2 x 2 - c 2 b 2 y 2

z = ± c 2 - c 2 a 2 x 2 - c 2 b 2 y 2

Como o enunciado não explicita qual o sinal devemos escolher, vamos assumir

z = c 2 - c 2 a 2 x 2 - c 2 b 2 y 2

Passo 2

Agora buscando a equação do plano tangente

z - z 0 = z x x 0 , y 0 x - x 0 + z y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

Calculando as derivadas no ponto x 0 , y 0

z x x 0 , y 0 = 1 2 c 2 - c 2 a 2 x 0 2 - c 2 b 2 y 0 2 - 1 2 - c 2 a 2 2 x 0

z x x 0 , y 0 = - c 2 a 2 x 0 c 2 - c 2 a 2 x 0 2 - c 2 b 2 y 0 2

Analogamente

z y x 0 , y 0 = - c 2 b 2 y 0 c 2 - c 2 a 2 x 0 2 - c 2 b 2 y 0 2

E a função no ponto

z 0 = c 2 - c 2 a 2 x 0 2 - c 2 b 2 y 0 2

Então podemos reescrever as derivadas como

z x x 0 , y 0 = - c 2 a 2 x 0 z 0

z y x 0 , y 0 = - c 2 b 2 y 0 z 0

Passo 3

Substituindo na equação do plano

z - z 0 = - c 2 a 2 x 0 z 0 x - x 0 - c 2 b 2 y 0 z 0 ( y - y 0 )

z - z 0 = c 2 z 0 - 1 a 2 x 0 x - 1 b 2 y 0 y + 1 a 2 x 0 2 + 1 b 2 y 0 2

z = c 2 z 0 - 1 a 2 x 0 x - 1 b 2 y 0 y + 1 a 2 x 0 2 + 1 b 2 y 0 2 + z 0

Colocando z 0 para dentro dos colchetes

z = c 2 z 0 - 1 a 2 x 0 x - 1 b 2 y 0 y + 1 a 2 x 0 2 + 1 b 2 y 0 2 + 1 c 2 z 0 2

A função é definida pela equação x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 , e o ponto x 0 , y 0 , z 0 pertence a função, então 1 a 2 x 0 2 + 1 b 2 y 0 2 + 1 c 2 z 0 2 = 1 , logo

z = c 2 z 0 - 1 a 2 x 0 x - 1 b 2 y 0 y + 1

z 0 z c 2 = - 1 a 2 x 0 x - 1 b 2 y 0 y + 1

x 0 x a 2 + y 0 y b 2 + z 0 z c 2 = 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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