Considere os vetores x 1 = t 2 2 t e x 2 = e t e t , responda às mesmas perguntas que no Problema 6.

Passo 1

(a) O wronskiano de W x 1 , x 2 = t 2 e t 2 t e t .

O wronskiano é det ⁡ W :

det ⁡ W = e t t 2 - 2 t e t = t t - 2 e t

Passo 2

(b) Para conhecer se os valores são linearmente independentes, devemos calcular o determinante do wronskiano escalonado .  

t 2 e t 2 t e t = t 2 - 2 t 0 2 t 2 t e t

det ⁡ W = t 2 - 2 t t e t

Sabemos que x 1 e x 2 são linearmente independentes por que o wronskiano não é nulo, exceto quando t = 0 e quando t = 2 , já que isso zera o termo t 2 - 2 t . (c) Em t = 0 e   t = 2 há, então, pelo menos 1 coeficiente inexistente.

Passo 3

(c) Sabemos que:

x 1 = t 2 2 t

x 2 = e t e t

A derivada desses pontos é:

x 1 ' = t 2 2 t a b c d

x 2 ' = e t e t a b c d

O que resulta em:

a t + b = 1

b = 1 - a

Podemos substituir em:

a t 2 + 2 b t = 2 t

Então:

a = 0

b = 1

Do mesmo modo que:

1 = c + d

c = 1 - d

Substituindo:

c t 2 + 2 t d = 2

c = 2 - 2 t t 2 - 2 t

d = 1 - 2 - 2 t t 2 - 2 t = t 2 - 2 t 2 - 2 t

Então, se considerarmos:

x ' = x 1 ' x 2 '

Substituindo os valores, teremos:

x ' = 0 1 2 - 2 t t 2 - 2 t t 2 - 2 t 2 - 2 t x

Resposta

(a) det ⁡ W = t t - 2 e t

(b) Linearmente independentes, exceto em t = 0 e t = 2

(c ) t = 0 e t = 2 .

(d) x ' = 0 1 2 - 2 t t 2 - 2 t t 2 - 2 t 2 - 2 t

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