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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.8 - Ex. 17b

Sejam S 1 e S 2 as superficies definidas por x 2 - y 2 + z 2 = 1 e x y + x z = 2 , respectivamente.

Determine equações da reta tangente à curva de interseção de S 1 e S 2 em ( 1,1 , 1 ) .

Passo 1

Bom galera, a questão quer que a gente encontre com a equação da reta tangente de interseção de duas superfícies, pra isso temos a formula, que infelizmente a gente vai ter que decorar, mas você vai ver como ela vai entrar na cabeça facinho, é essa:

x , y , z = x 0 , y 0 , z 0 + ∇ F P 0 × ∇ G P 0 t

A questão já nos deu o ponto P 0 que é 1,1 , 1 . Agora precisamos do produto vetorial dos vetores gradientes.

Passo 2

Belezinha, vamos encontrar os vetores gradientes, da superfície S 1 primeiro:

∇ F = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

→ ∇ F = 2 x , - 2 y , 2 z

Agora aplicamos o ponto:

∇ F P 0 = 2 1 , - 2 1 , 2 ( 1 )

→ ∇ F = 2 , - 2,2

Esse é o primeiro vetor gradiente, agora vamos encontrar o segundo:

∇ G = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z

→ ∇ F = y + z , x , x

Aplicando o ponto:

∇ G P 0 = 1 + 1 , 1 , 1

→ ∇ G P 0 = 2,1 , 1

Passo 3

Show de bolinhas, agora a gente precisa calcular o produto vetorial disso, lembra que a gente pode fazer isso calculando o determinante de uma matriz assim:

i ^ j ^ k ^ ∇ F x ∇ F y ∇ F z ∇ G x ∇ G y ∇ G z

Então o nosso produto vetorial vai ficar:

d e t i ^ j ^ k ^ 2 - 2 2 2 1 1

Calculando o determinante:

v → = - 2 1 i ^ + 2 2 j ^ + 2 1 k ^ - 2 1 i ^ - 2 1 j ^ - ( - 2 ) ( 2 ) k ^

→ v → = - 2 i ^ + 4 j ^ + 2 k ^ - 2 i ^ - 2 j ^ + 4 k ^

→ v → = - 4 i ^ + 2 j ^ + 6 k ^

E podemos escrever assim:

∇ F P 0 × ∇ G P 0 = ( - 4,2 , 6 )

E como isso é um vetor direção a gente pode simplificar ele e fica assim:

∇ F P 0 × ∇ G P 0 = ( - 2 , 1 , 3 )

Passo 4

Por fim, a gente substitui todos os valores da equação que eu mostrei no passo 1:

x , y , z = x 0 , y 0 , z 0 + ∇ F P 0 × ∇ G P 0 t

→ x , y , z = 1,1 , 1 + - 2,1 , 3 t

Calculamos e a equação fica:

x , y , z = 1 - 2 t , 1 + t , 1 + 3 t

E prontinho. 😊

Resposta

1 - 2 t , 1 + t , 1 + 3 t

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