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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.8 - Ex. 6b

Suponha que z = f ( x , y ) é uma função de classe C 1 , f 1,3 = - 1 , ∂ f ∂ x 1,3 = 4 e ∂ f ∂ y 1,3 = - 3 . Sabe-se que a curva σ t = t 2 , 4 t - 1 , z t , t ∈ R , está contida no gráfico da função z = f ( x , y ) .

Ache uma equação da reta tangente à curva σ ( t ) no ponto σ 1 .

Passo 1

Bom galera, para começar vamos aplicar o valor de t na nossa equação da curva, vamos lá:

σ t = t 2 , 4 t - 1 , z t

→ σ 1 = 1 2 , 4 ( 1 ) - 1 , z 1

→ σ 1 = 1,3 , z 1

Agora, lembra que a questão disse que a curva está contida no gráfico da função z = f ( x , y ) ,

Então a gente precisa pegar o valor de z = ( 1,3 ) que acabamos de encontrar e isso a questão também dá, é z = - 1 , logo o nosso ponto é:

σ 1 = ( 1,3 , - 1 )

Que é de onde partirá a reta tangente.

Passo 2

Belezinha, já temos o ponto onde a reta tocará na curva, agora precisamos de um vetor com direção tangente, e por definição a derivada gráficamente é isso, então derivamos tudo da nossa equação da curva, assim:

σ ' ( t ) = 2 t , 4 , z ' t

→ σ ' t = 2,4 , z ' 1

Bom, no caso da derivada de z ( t ) , a gente encontrou na alternativa anterior com a regra da cadeia:

∂ z ∂ t = ∂ f ∂ x t 2 , 4 t - 1 ⋅ 2 t + ∂ f ∂ y t 2 , 4 t - 1 ⋅ 4

Aplicamos o t = 1 :

∂ z ∂ t = ∂ f ∂ x 1 , 3 ⋅ 2 + ∂ f ∂ y 1 , 3 ⋅ 4

Já temos esse valores, então substituimos e calculamos:

∂ z ∂ t = 4 ⋅ 2 + - 3 ⋅ 4 = - 4

Então ficamos com:

σ ' 1 = ( 2,4 , - 4 )

Passo 3

Por fim, pegamos a equação geral da reta e colocamos os valores que a gente encontrou:

r = p 0 + v → t

→ r = 1,3 , - 1 + ( 2,4 , - 4 ) t

→ r = 1 + 2 t , 3 + 4 t , - 1 - 4 t

Resposta

r = 1 + 2 t , 3 + 4 t , - 1 - 4 t

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