Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.8 - Ex. 17c
Sejam e as superficies definidas por e , respectivamente.
Mostre que a reta tangente encontrada no item é tangente à superficie de equação no ponto .
Passo 1
Bom galera, a questão quer que descubra se a reta tangente encontrada no item é tangente à superfície da equação que a questão deu. Então, se a gente encontrar um plano tangente a essa superfície, essa reta deve estar contida nesse plano, certo?
Vamos começar relembrando a equação do plano tangente:
Isso porque o vetor gradiente é um vetor direção normal a superficie no ponto, e usamos esse vetor para formar o plano com um produto escalar.
Passo 2
Belezinha, vamos encontrar os vetores gradientes, da superfície da equação:
O vetor gradiente é:
Agora aplicamos o ponto:
Passo 3
Show de bolinhas, agora vamos montar a equação do plano:
Agora fazemos o produto escalar, que é a soma dos produtos entre os vetores, bem assim:
A gente pode escreve a equação do plano assim isolando o :
Essa é a função do plano tangente, ou seja todas as infinitas retas tangente a superficie da questão estão contidas nesse plano, só falta a gente testar se a reta do item está dentro.
Passo 4
Por fim, a gente testa se a equação do item :
Está dentro do plano que a gente encontrou, pra isso a gente substitui a equação da reta dentro da do plano como se a equação da reta fosse um ponto, vamos lá:
Logo temos que isso é verdadeiro, então a reta está contida nesse plano e assim essa reta é tangente a essa superficie. 😊
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)