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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.3 - Ex. 4a

Sejam F → ,   G → ,   H → três funções definidas em A ⊂ R e a valores em R 3 . Verifique que

F → × G → = - G → × F →

Passo 1

Nesse item vamos usar as funções F → e G → , então vamos definir

F → t = a 1 t , b 1 t , c 1 ( t )

G → t = a 2 t , b 2 t , c 2 ( t )

Então por definição temos

F → × G → = i → j → k → a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 = b 1 c 2 - c 1 b 2 i → + a 2 c 1 - a 1 c 2 j → + a 1 b 2 - a 2 b 1 k →

Se fizermos o contrário

G → × F → = i → j → k → a 2 b 2 c 2 a 1 b 1 c 1

Calculando o determinante, usando a resolução dada, mas com os números invertidos, já que estamos fazendo o contrário

G → × F → = b 2 c 1 - c 2 b 1 i → + a 1 c 2 - a 2 c 1 j → + a 2 b 1 - a 1 b 2 k →

Se colocarmos - 1 em evidência em cada parêntese

G → × F → = - b 1 c 2 - c 1 b 2 i → + a 2 c 1 - a 1 c 2 j → + a 1 b 2 - a 2 b 1 k →

E o que temos dentro do colchete é a definição de F → × G → , então

G → × F → = - F → × G →

Ou

F → × G → = - G → × F →

Para quaisquer funções a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , c 1 , c 2 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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5. Verifique se a função é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade.a) f x , y = x 3 + 2 x y ² x 3 - y ³ ² ³
Suponha que f: IR² → IR seja homogênea do grau 2 ef a , b = a para todo ( a , b ) , com a 2 + b 2 = 1 . Calcule: f 0 , 3
Seja f: IR² → IR uma função linear. Sabendo que f 1,0 = 2ef 0,1 = 3 , calcule f x , y .
Suponha que f: IR² → IR seja homogênea do grau 2 ef a , b = a para todo ( a , b ) , com a 2 + b 2 = 1 . Calcule: f x , y ,( x , y ) ≠ ( 0,0 )
Verifique se a função é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade. f x , y = 2 x 2 + y ² ²