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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 8.1 - Ex. 6c

Suponha que f: IR² → IR seja homogênea do grau 2 e   f a , b = a para todo ( a , b ) , com a 2 + b 2 = 1 . Calcule:

f x , y ,   ( x , y ) ≠ ( 0,0 )

Passo 1

Encontrar o termo homogêneo da equação:

f t a , t b = f x , y

f x , y = f ( x 2 + y 2 . x x 2 + y 2 , x 2 + y 2 . y x 2 + y ² )

f ( x 2 + y 2 . x x 2 + y 2 , x 2 + y 2 . y x 2 + y 2 ) = ( x 2 + y 2 ) ² . f ( x x 2 + y 2 , y x 2 + y 2 )

Passo 2

Como nesse caso a 2 + b 2 = 1

x x 2 + y 2 + y x 2 + y 2 = 1

  f a , b = a

f ( x x 2 + y 2 , y x 2 + y 2 ) = x x 2 + y 2

Passo 3

Substituir na equação dada:

f ( x x 2 + y 2 , y x 2 + y 2 ) = ( x 2 + y 2 ) ² . f ( x x 2 + y 2 , y x 2 + y 2 )

x 2 + y 2 2 . f x x 2 + y 2 , y x 2 + y 2 = x 2 + y 2 2 . x x 2 + y 2 = x . x 2 + y 2

Resposta

f x , y = x . x 2 + y 2

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