Sejam z = z (x , y) , x = e^u cos ( v ) e y = e^u s e n ( v ) . Suponha que (del^2 z)/(del x^2) + (del^2 z)/(del y^2) = 0 . Calcule (del^2 z)/(del u) + (del^2 z)/(del v^2)

(del^2 z)/(del u) + (del^2 z)/(del v^2) = 0

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.2 - Ex. 13

Sejam e . Suponha que . Calcule

Passo 1

Inicialmente separaremos nosso problema em dois, ou seja, precisamos calcular derivadas parciais em relação a e depois em relação a . Dessa maneira, temos que em relação a ,

Assim,

Pela regra do produto,

Fazendo separadamente teremos,

Da mesma forma,

Logo,

Utilizando o Teorema de Schwarz

Passo 2

Calculando a derivada parcial em relação a teremos,

Assim,

Pela regra do produto,

Fazendo separadamente teremos,

Da mesma forma,

Logo,

Utilizando o Teorema de Schwarz

Logo,

Passo 3

Sendo assim,

Pela identidade fundamental da trigonometria

Como por hipótese Então,

Portanto,

Resposta

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Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Se z = f ( x , y ) , onde x = r 2 + s 2 e y = 2 r s , determine ∂ 2 z / ∂ r ∂ s . (Compare com o Exemplo 7.)

Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Suponha z = f ( x , y ) , onde x = g ( s , t ) e y = h ( s , t ) . (a) Mostre que ∂ 2 z ∂ t 2 = ∂ 2 z ∂ x 2 ∂ x

Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Se u = f ( x , y ) , onde x = e s cos ⁡ t e y = e s sen ⁡ t , mostre que ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = e - 2 s ∂ 2

Encontre del w // del r quando r = 1 , s = - 1 se w = (x + y + z)^2 , x = r - s , y = cos (r + s) , z = sen (r + s) .

Encontre del z // del u e del z // del v quando u = 1 , v = - 2 se z = ln q e q = sqrt(v + 3) tg^(- 1) u .