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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.2 - Ex. 13

Sejam z = z (x , y) , x = e^u cos ( v ) e y = e^u s e n ( v ) . Suponha que (del^2 z)/(del x^2) + (del^2 z)/(del y^2) = 0 . Calcule

(del^2 z)/(del u) + (del^2 z)/(del v^2)

Passo 1

Inicialmente separaremos nosso problema em dois, ou seja, precisamos calcular derivadas parciais em relação a u e depois em relação a v . Dessa maneira, temos que em relação a u ,

(del z)/(del u) = (del z ( x , y ))/(del x) . (del x)/(del u) + (del z ( x , y ))/(del y) . (del y)/(del u)

= (del z ( x , y ))/(del x) . e^u cos ( v ) + (del z ( x , y ))/(del y) e^u sen ( v )

Assim,

(del^2 z)/(del u^2) = (del x)/(del u) [(del z ( x , y ))/(del x) . e^u cos ( v )] + (del x)/(del u) [(del z (x , y))/(del y) e^u sen (v)]

Pela regra do produto,

= (del x)/(del u) [(del z (x , y))/(del x)] e^u cos (v) + [(del z (x , y))/(del x) e^u cos (v)]

+ (del y)/(del u) [(del z (x , y))/(del y)] e^u sen (v) + [(del z (x , y))/(del y) e^u sen (v)]

Fazendo separadamente teremos,

(del x)/(del u) [(del z (x , y))/(del x)] = (del^2 z (x , y))/(del x^2) (del x)/(del u) + (del^2 z (x , y))/(del y del x) (del y)/(del u)

= (del^2 z (x , y))/(del x^2) e^u cos ( v ) + (del^2 z (x , y))/(del y del x) e^u sen ( v )

Da mesma forma,

(del y)/(del u) [(del z (x , y))/(del y)] = (del^2 z (x , y))/(del x del y) (del x)/(del u) + (del^2 z (x , y))/(del y^2) (del y)/(del u)

= (del^2 z (x , y))/(del x del y) e^u cos ( v ) + (del^2 z (x , y))/(del y^2) e^u sen ( v )

Logo,

(del^2 z)/(del u^2) = [(del^2 z (x , y))/(del x^2) e^u cos (v) + (del^2 z (x , y))/(del y del x) e^u sen (v)] e^u cos (v) + [(del z (x , y))/(del x) e^u cos (v)]

+ [(del^2 z (x , y))/(del x del y) e^u cos ( v ) + (del^2 z (x , y))/(del y^2) e^u sen ( v )] e^u sen (v) + [(del z (x , y))/(del y) e^u sen (v)]

= [(del^2 z (x , y))/(del x^2) e^(2 u) cos^2 (v) + (del^2 z (x , y))/(del y del x) e^(2 u) sen (v) cos (v)] + [(del z (x , y))/(del x) e^u cos (v)]

[(del^2 z (x , y))/(del x del y) e^(2 u) cos ( v ) sen (v) + (del^2 z (x , y))/(del y^2) e^(2 u) sen^2 ( v )] + [(del z (x , y))/(del y) e^u sen (v)]

Utilizando o Teorema de Schwarz

= [(del^2 z (x , y))/(del x^2) e^(2 u) cos^2 (v) + (del^2 z (x , y))/(del x del y) e^(2 u) sen (v) cos (v)] + [(del z (x , y))/(del x) e^u cos (v)]

[(del^2 z (x , y))/(del x del y) e^(2 u) s e n ( v ) c o s ( v ) + (del^2 z (x , y))/(del y^2) e^(2 u) sen^2 ( v )] + [(del z (x , y))/(del y) e^u sen (v)]

= [(del^2 z (x , y))/(del x^2) e^(2 u) cos^2 (v) + 2 (del^2 z (x , y))/(del x del y) e^(2 u) sen (v) cos (v) + (del^2 z (x , y))/(del y^2) e^(2 u) sen^2 ( v )] + [(del z (x , y))/(del x) e^u cos (v)] + [(del z (x , y))/(del y) e^u sen (v)]

Passo 2

Calculando a derivada parcial em relação a v teremos,

(del z)/(del v) = (del z ( x , y ))/(del x) . (del x)/(del v) + (del z ( x , y ))/(del y) . (del y)/(del v)

= - (del z ( x , y ))/(del x) . e^u sen ( v ) + (del z ( x , y ))/(del y) e^u cos ( v )

Assim,

(del^2 z)/(del v^2) = (del x)/(del v) [- (del z ( x , y ))/(del x) . e^u sen ( v )] + (del x)/(del v) [(del z ( x , y ))/(del y) e^u cos ( v )]

Pela regra do produto,

= - (del x)/(del v) [(del z (x , y))/(del x)] e^u sen (v) - [(del z (x , y))/(del x) e^u cos (v)]

+ (del y)/(del v) [(del z (x , y))/(del y)] e^u cos (v) - [(del z (x , y))/(del y) e^u sen (v)]

Fazendo separadamente teremos,

(del x)/(del u) [(del z (x , y))/(del x)] = (del^2 z (x , y))/(del x^2) (del x)/(del v) + (del^2 z (x , y))/(del y del x) (del y)/(del v)

= - (del^2 z (x , y))/(del x^2) e^u sen ( v ) + (del^2 z (x , y))/(del y del x) e^u cos ( v )

Da mesma forma,

(del y)/(del u) [(del z (x , y))/(del y)] = (del^2 z (x , y))/(del x del y) (del x)/(del v) + (del^2 z (x , y))/(del y^2) (del y)/(del v)

= - (del^2 z (x , y))/(del x del y) e^u sen ( v ) + (del^2 z (x , y))/(del y^2) e^u cos ( v )

Logo,

(del^2 z)/(del u^2) = - [- (del^2 z (x , y))/(del x^2) e^u sen ( v ) + (del^2 z (x , y))/(del y del x) e^u cos ( v )] e^u sen (v) - [(del z (x , y))/(del x) e^u cos (v)]

+ [- (del^2 z (x , y))/(del x del y) e^u sen ( v ) + (del^2 z (x , y))/(del y^2) e^u cos ( v )] e^u cos (v) - [(del z (x , y))/(del y) e^u sen (v)]

= [(del^2 z (x , y))/(del x^2) e^(2 u) sen^2 (v) - (del^2 z (x , y))/(del y del x) e^(2 u) cos (v) s e n ( v )] - [(del z (x , y))/(del x) e^u cos (v)]

= [- (del^2 z (x , y))/(del x del y) e^(2 u) sen (v) c o s ( v ) + (del^2 z (x , y))/(del y^2) e^(2 u) cos^2 ( v )] - [(del z (x , y))/(del y) e^u sen (v)]

Utilizando o Teorema de Schwarz

= [(del^2 z (x , y))/(del x^2) e^(2 u) sen^2 (v) - (del^2 z (x , y))/(del x del y) e^(2 u) cos (v) s e n ( v )] - [(del z (x , y))/(del x) e^u cos (v)]

= [- (del^2 z (x , y))/(del x del y) e^(2 u) c o s ( v ) sen (v) + (del^2 z (x , y))/(del y^2) e^(2 u) cos^2 ( v )] - [(del z (x , y))/(del y) e^u sen (v)]

Logo,

= [(del^2 z (x , y))/(del x^2) e^(2 u) sen^2 (v) - 2 (del^2 z (x , y))/(del x del y) e^(2 u) cos (v) s e n (v) + (del^2 z (x , y))/(del y^2) e^(2 u) cos^2 ( v )] - [(del z (x , y))/(del x) e^u cos (v)] - [(del z (x , y))/(del y) e^u sen (v)]

Passo 3

Sendo assim,

(del^2 z)/(del u) + (del^2 z)/(del v^2)

= [(del^2 z (x , y))/(del x^2) e^(2 u) cos^2 (v) + 2 (del^2 z (x , y))/(del x del y) e^(2 u) sen (v) cos (v) + (del^2 z (x , y))/(del y^2) e^(2 u) sen^2 (v)] + [(del z (x , y))/(del x) e^u cos (v)] + [(del z (x , y))/(del y) e^u sen (v)]

+ [(del^2 z (x , y))/(del x^2) e^(2 u) sen^2 (v) - 2 (del^2 z (x , y))/(del x del y) e^(2 u) cos (v) s e n (v) + (del^2 z (x , y))/(del y^2) e^(2 u) cos^2 ( v )] - [(del z (x , y))/(del x) e^u cos (v)] - [(del z (x , y))/(del y) e^u sen (v)]

= [(del^2 z (x , y))/(del x^2) e^(2 u) (cos^2 (v) + s e n^2 (v)) + (del^2 z (x , y))/(del y^2) e^(2 u) (cos^2 (v) + s e n^2 (v))]

Pela identidade fundamental da trigonometria

= [(del^2 z (x , y))/(del x^2) e^(2 u) (1) + (del^2 z (x , y))/(del y^2) e^(2 u) (1)]

= e^(2 u) [(del^2 z (x , y))/(del x^2) + (del^2 z (x , y))/(del y^2)]

Como por hipótese (del^2 z)/(del x^2) + (del^2 z)/(del y^2) = 0 . Então,

= e^(2 u) [0] = 0

Portanto,

(del^2 z)/(del u) + (del^2 z)/(del v^2) = 0

Resposta

(del^2 z)/(del u) + (del^2 z)/(del v^2) = 0

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Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Se z = f ( x , y ) , onde x = r 2 + s 2 e y = 2 r s , determine ∂ 2 z / ∂ r∂ s . (Compare com o Exemplo 7.)
Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Suponha z = f ( x , y ) , onde x = g ( s , t ) e y = h ( s , t ) . (a) Mostre que ∂ 2 z ∂ t 2 = ∂ 2 z ∂ x 2 ∂ x
Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Se u = f ( x , y ) , onde x = e s cos ⁡ t e y = e s sen ⁡ t , mostre que ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = e - 2 s ∂ 2
Encontre ∂ w / ∂ r quando r = 1 , s = - 1 se w = x + y + z 2 , x = r - s , y = cos ⁡ r + s , z = sen ⁡ r + s .
Encontre ∂ z / ∂ u e ∂ z / ∂ v quando u = 1 , v = - 2 se z = ln ⁡ q e q = v + 3 tg - 1 ⁡ u .