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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 9

Seja z = e^(x^2 + y^2) , x = rho cos theta e y = rho sin theta . Verifique que

(del z)/(del rho) = e^(x^2 + y^2) (2 x cos theta + 2 y sin theta)

Conclua que

(del z)/(del rho) = (del z)/(del x) cos theta + (del z)/(del y) sin theta

Passo 1

Para fazermos (del z)/(del rho) precisamos transformar z numa função de rho , para isso substituímos os valores, já dados, de x e y .

z = e^([ (rho cos theta)^2 + (rho sin theta)^2 ]) = e^([ p^2 cos^2 theta + rho^2 sin^2 theta ]) = e^(p^2 cos^2 theta) xx e^(rho^2 sin^2 theta)

Agora derivamos:

(del z)/(del rho) = (del (e^(p^2 cos^2 theta) xx e^(rho^2 sin^2 theta)))/(del rho) =

= (2 rho cos^2 theta) e^(p^2 cos^2 theta) xx e^(rho^2 sin^2 theta) + (2 rho sin^2 theta) e^(rho^2 sin^2 theta) xx e^(p^2 cos^2 theta) =

= e^([p^2 cos^2 theta + rho^2 sin^2 theta]) (2 rho cos^2 theta + 2 rho sin^2 theta)

Passo 2

Se temos: x = rho cos theta -> x^2 = rho^2 cos^2 theta e y = rho sin theta -> y^2 = rho^2 sin^2 theta

Podemos reescrever a equação como sendo:

(del z)/(del rho) = e^([p^2 cos^2 theta + rho^2 sin^2 theta]) (2 rho cos theta cos theta + 2 rho sin theta sin theta) = e^(x^2 + y^2) (2 x cos theta + 2 y sin theta)

Passo 3

Vamos calcular: (del z)/(del x) e (del z)/(del y)

(del z)/(del x) = (del (e^(x^2 + y^2)))/(del x) = 2 x e^(x^2 + y^2)

(del z)/(del y) = (del (e^(x^2 + y^2)))/(del y) = 2 y e^(x^2 + y^2)

Agora se compararmos com:

(del z)/(del rho) = (del z)/(del x) cos theta + (del z)/(del y) sin theta

E substituirmos:

(del z)/(del x) cos theta + (del z)/(del y) sin theta = 2 x e^(x^2 + y^2) cos theta + 2 y e^(x^2 + y^2) sin theta = e^(x^2 + y^2) (2 x cos theta + 2 y sin theta)

Temos então que:

(del z)/(del rho) = (del z)/(del x) cos theta + (del z)/(del y) sin theta

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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