Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 62
Esfera e paraboloide Encontre o volume da região delimitada acima pela esfera x2 + y2 + z2 = 2 e abaixo pelo paraboloide z = x2 + y2.
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
Já sabemos que o volume de regiões é definido pelo cálculo da integral tripla delimitado por superficies diversas. Neste exercício as regiões são definidas por uma esfera e um paraboloide.E qual é nosso objetivo? Queremos encontrar o volume delimitado na parte superior pela esfera de equação e na parte inferior pelo paraboloide que possui equação . Sabemos também que e representa o raio de um círculo.
Passo 2
Vamos neste passo definir os limitantes da integral. Primeiro temos que encontrar onde a esfera e o paraboloide se interceptam.Temos as equações:
A solução da equação é:
Passo 3
Obtemos as raízes e . Como queremos um valor onde , vamos considerar e Logo, o intervalo de é definido como:
Para teremos:
Dessa maneira:
Por fim, teremos 0 ângulo com o intervalo:
Passo 4
Agora podemos escrever a integral tripla que representa o volume da região:
Resposta
Por fim, concluímos que o volume desejado para a região neste exercício é igual a