Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 10
Quais das sequências cujos n-ésimos termos aparecem nos Exercícios 1-18 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada uma das sequências convergentes.
10.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
A sequência converge se o limite
existe e é igual a algum número finito (esse número deve ser único). A sequência diverge se o limite (1) não existir ou for igual a .
Quando se aproxima do infinito, então vai para o infinito, e então também vai para o infinito. Como o numerador também vai para o infinito quando se aproxima do infinito, então concluímos que o limite
Tende para uma forma indeterminada, com isso, vamos aplicar a regra de L’Hospital para tentar tirar essa indeterminação!
Passo 2
Portanto, podemos aplicar a regra de L'Hospital para calcular o limite (2). Aplicaremos a regra de L'Hospital diferenciando o numerador separadamente e diferenciando o denominador separadamente:
Calculando as derivadas, nós temos que
Desenvolvendo um pouco mais esses termos, obtemos que
Passo 3
À medida que se aproxima do infinito, então vai para e vai para o infinito. Ou seja, concluímos que o denominador tende ao infinito.
Como o numerador é uma constante, ou seja, igual a 6, ele independe da escolha de . Portanto, quando se aproxima do infinito, o numerador vai para :
Do cálculo anterior, concluímos que o denominador se torna cada vez maior à medida que se aproxima do infinito e o numerador é fixo. Quando dividimos um número fixo por um número cada vez maior, a fração se aproxima cada vez mais do número .
Portanto, concluímos que toda a expressão vai para . A avaliação do limite (3) é igual a:
Como o limite é único e igual a um número finito, concluímos que a sequência converge.