Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.5 - Ex. 9
9. Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
E aí, pessoal! Firmeza?
Vamos lá! Nosso enunciado pede para analisarmos se nossa série converge ou diverge:
Dando uma olhadinha nela, um termo chama atenção: . Repare que quando assume valores pares, nosso termo é positivo e quando assume valores ímpares o termo fica negativo. Então, a série alterna seu sinal de termo em termo. Bom, então podemos concluir que temos uma série Alternada.
A técnica que usamos para encontrar a convergência de uma série alternada é o Teste da Série Alternada: se a série alternada:
Onde , atender às nossas duas condições:
- para todo
Então a série é convergente.
Em resumo, vamos precisar verificar as duas condições acima para nossa série e se elas forem atendidas ela será convergente!
Vamos passo a passo!
Passo 2
Testando a primeira condição, ou seja, de que a sequência é decrescente. Uma forma de encontrarmos isso é encontrando:
Vamos reescrever como uma função já que para achar a derivada precisamos de uma função contínua:
Realizando a derivada:
Para o menor valor de que é já veremos que , portanto nosso numerador vai ficar negativo. De fato, a sequência é decrescente, uma vez que para qualquer valor de no intervalo em questão resultará em um valor negativo.
Condição (i) atendida e .
Passo 3
Agora testando a segunda condição (ii):
Usando a regra de L’Hospital, para retirar a indeterminação acima, teremos:
Obs: não custa lembrar que a regra de L’Hospital só vale para indeterminações do tipo e .
Sendo assim, podemos concluir que a série em questão é convergente já que provamos que ela cumpre os requisitos (i) e (ii) do Teste da Série Alternada.