Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.6 - Ex. 5
Determine se a série e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
Passo 1
Fala, galera! Tudo joia?
A questão está pedindo para acharmos a convergência absoluta, condicional ou divergência da série:
O teste que nos permite encontrar a convergência nesses termos é o Teste da Razão. Vamos relembrar o Teste da Razão: Calculamos o limite:
Se:
- a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente).
- a série é divergente
- o teste é inconclusivo.
Aqui no nosso caso teremos:
Vamos em frente!
Passo 2
Bem, vamos aplicar o teste. Já começamos escrevendo nossa divisão de frações como a primeira ( dividida pelo inverso da segunda (.
O módulo serve para mostrar que estamos considerando somente valores positivos, então podemos retirar os termos e , pois eles não mudam os valores dos termos, somente fazem seus valores oscilar entre positivo e negativo.
Vamos então calcular nosso limite, começando dividindo o numerador e o denominador por para facilitar a análise:
Teremos então , já que a fração dentro dos parênteses tem limite
Então, temos que o teste é inconclusivo. Precisamos estudar a série por outros métodos.
Passo 3
Estudando a série absoluta:
Usando o teste de comparação, onde , vemos que a serie diverge, pois, a série harmônica diverge. Logo, ela não converge absolutamente.
Passo 4
Considerando . Temos que é decrescente, já que a função no denominador é crescente e Portanto, pelo teste da série alternada, a série original converge.
Pelo fato de a série convergir, mas não convergir absolutamente, ela é condicionalmente convergente.
Resposta
A série é condicionalmente convergente.