Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 1.5 - Ex. 29
Sob condições ideais sabe-se que uma certa população de bactérias dobra a cada 3 horas. Supondo que inicialmente existam 100 bactérias:
a) Qual o tamanho da população após 15 horas?
b) Qual o tamanho da população após horas?
c) Qual o tamanho da população após 20 horas?
d) Trace o gráfico da função população e estime o tempo para a população atingir 50000 bactérias.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... a questão nos diz que uma certa população de bactérias dobra a cada 3 horas e que inicialmente existam 100 bactérias.
A partir disso, a questão quer que calculemos o tamanho da população de bactérias após e horas.
Para isso, temos que relembrar um pouquinho das funções exponenciais.
Além disso, a questão também pede para traçarmos um gráfico da função população e estimar o tempo para a população atingir 50000 bactérias.
Para isso, a gente vai descobrir uma função exponencial e traçar esse gráfico.
E aí? Bora lá?? 😉
Passo 2
Esse é um proble típico sobre crescimento populacional exponencial.
A cada horas a população de bactérias dobra. Assim, em horas, ela vai ter dobrado cinco vezes:
Portanto, após horas, o tamanho da população será de bactérias.
Passo 3
Sabemos que a cada três horas a população dobra de tamanho. Assim, a população será dada por
onde é o número de períodos de três horas. Assim, temos que
Portanto,
Passo 4
Para basta substituirmos na fórmula que acabamos de encontrar:
Passo 5
A seguir plotamos a função e a reta :
Vemos que a exponencial ultrapassa a reta aproximadamente em .
Assim, após aproximadamente horas a população de bactérias será superior a .