Sob que condições você pode encontrar o comprimento de uma curva r = f(θ), α ≤ θ ≤ β , no plano de coordenadas polares? Dê um exemplo de cálculo típico.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Para calcular o comprimento de uma curva r = f θ para α ≤ θ ≤ β , no plano de coordenadas polares usamos a seguinte fórmula:

L = ∫ α β r 2 + d r d θ 2 d θ

Isso só pode ser feito se f θ tiver uma primeira derivada contínua e se o ponto P r , θ traçar a curva exatamente uma vez enquanto θ vai de α até β .

Por exemplo, vamos determinar o comprimento da curva r = s e n θ para 0 ≤ θ ≤ π :

L = ∫ 0 π ( s e n θ ) 2 + ( c o s θ ) 2 d θ

L = ∫ 0 π s e n ² θ + c o s ² θ d θ

Da identidade trigonométrica s e n 2 θ + c o s 2 θ = 1 , temos que:

L = ∫ 0 π 1 d θ = ∫ 0 π d θ = θ 0 π = π - 0 = π

O seu comprimento é L = π .

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a explicação acima.

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