Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.7 - Ex. 12
Calcule o momento de inércia de um cone circular reto de altura , raio da base , homogêneo, em relação a um diâmetro de sua base.
Passo 1
Vamos olhar para o início da nossa seção 5.7 e nos atentar para a seguinte relação
Que é definido como nosso momento de inércia, na qual e é nossa densidade volumétrica. Assim agora precisamos só aplicarmos nossa equação. Claro que estou aqui para ajuda-los ...
Passo 2
Podemos simplificar bastante nosso problema olhando para o exercício 9, 10, que sugere que o nosso centro de massa esteja em e , e além disso o Teorema de Steiner que nos diz que, seja o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de massa de um corpo e o momento de inércia em relação a um eixo paralelo, a uma distância , então , onde é a massa do corpo .
Desta forma temos que =, implicando que a distância entre o centro de massa e a base do cone é
Temos que, podemos utilizar o Teorema de Steiner, fazemos que
Assim temos que o momento de inércia em relação ao uma reta que passa pelo centro de massa é
Agora seja o diâmetro da base do cone paralelo ao eixo . Ainda aplicando o teorema de Steiner, temos que