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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.7 - Ex. 9

Considere um cone circular reto homogêneo de altura h e raio de base R .

  1. Calcule o centro de massa.
  2. Calcule o momento de inércia em relação ao seu eixo.

Passo 1

Vamos olhar para o início da nossa seção 5.7 e nos atentar para a seguinte relação

I = ∭ B r 2 d m

Que é definido como nosso momento de inércia, na qual d m = δ x , y , z d x   d y   d z e δ x , y , z é nossa densidade volumétrica. Assim agora precisamos só aplicarmos nossa equação. Claro que estou aqui para ajuda-los ...

Já o centro de massa é calculado tomando a seguinte relação

s C = ∭ B s   d m ∭ B d m

Onde s é nossa coordenada x , y , z .

Mas vamos agora aplicar

Passo 2

(a) Vamos primeiro imaginar um cone, não precisamos nem desenha-lo aqui, apenas imaginar. Perceba que ele possui uma simetria em todos os seus planos que são paralelos ao plano x y . Isso quer dizer que, mesmo não sabendo a altura que o centro de massa se encontra, já sabemos que o plano x y , o ponto são x C = y C = 0 . Assim falta apenas calcular o valor de z C .

Para ajudar a resolvermos a nossa integral de centro de massa para z C , vamos usar coordenadas polares, assim temos que nosso cone definido como

z 2 = x 2 + y 2

E fazendo

x = ρ cos ⁡ θ

y = ρ   s e n   θ

Implicando que

0 ≤ ρ ≤ R ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

Além disso, perceba que para z temos que

ρ h R ≤ z ≤ h

E não esquecendo que nossa transformação requer um Jacobiano, temos que o Jacobiano em coordenadas polares é ρ .

Agora podemos começar a calcular nossa integral

∭ B z   d m = ∫ 0 R ∫ 0 2 π ∫ ρ h / R   h z   k   ρ   d z   d θ   d ρ

Integrando em z e posteriormente em θ ficamos com

2 π k ∫ 0 R z 2 2 ρ h / R   h ρ d ρ = 2 π k ∫ 0 R h 2 2 - ρ 2 h 2 2 R 2 ρ d ρ

Podemos simplificar fazendo

2 π k h 2 2 ∫ 0 R ρ - ρ 3 R 2 d ρ = π k h 2 ρ 2 2 - ρ 4 4 R 2 0 R = π k h 2 R 2 2 - R 4 4 = π k h 2 R 2 4  

Agora vamos calcular apenas a massa, ou seja, some-se o parâmetro z que aparece no passo anterior, assim temos que nossa integral será

∭ B d m = ∫ 0 R ∫ 0 2 π ∫ ρ h / R   h k   ρ   d z   d θ   d ρ

Que fazendo a integral pra θ e para z nos deixa

= 2 π k ∫ 0 R z ρ h / R h   ρ   d ρ = 2 π k h ∫ 0 R 1 - ρ R ρ   d ρ

Assim temos então

= 2 π k h   ∫ 0 R ρ - ρ 2 R d ρ = 2 π k h   ρ 2 2 - ρ 3 3 R 0 R = 2 π k h R 2 1 2 - 1 3 = π k h R 2 3

Desta forma nos sobra que

z C = π k h 2 R 2 / 4 π k h R 2 / 3 = 3 4 h

Assim temos que o centro de massa será

0 ,   0 , 3 4 h

Passo 3

(b) Agora vamos calcular o momento de inércia com relação ao seu eixo de simetria, ou seja, O z . Vamos utilizar o teorema do nosso grande amigo pitagora e assim tomando que qualquer ponto dista no eixo O z por r = x 2 + y 2 . Assim temos que, usando o mesmo sistema de coordenada no passo anterior e seus limites, temos

I = ∫ 0 R ∫ 0 2 π ∫ ρ h / R h r 2 d m =   ∫ 0 R ∫ 0 2 π ∫ ρ h / R h ρ 2 k   ρ   d z   d θ   d ϕ

Integrando primeiro para z e θ , ficamos com

= 2 π k ∫ 0 R h - ρ h R ρ 3 d ρ = 2 π k h ρ 4 4 - ρ 5 5 R 0 R = π k h R 4 10

Tomando que

k = M V = 3 M π h R 2

Assim temos por fim

I = π h R 4 10 3 M π h R 2 = 3 M R 2 10

Resposta

0 ,   0 , 3 4 h

I = 3 M R 2 10

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