Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.7 - Ex. 2
Calcule o momento de inércia do cubo homogêncio de aresta , em relação a um eixo que contém uma das arestas.
Passo 1
Vamos olhar para o início da nossa seção 5.7 e nos atentar para a seguinte relação
Que é definido como nosso momento de inércia, na qual e é nossa densidade volumétrica. Assim agora precisamos só aplicarmos nossa equação. Claro que estou aqui para ajuda-los ... então vamos lá
Passo 2
Como estamos lidando com um cubo, temos por consequência que , e . O Exercício nos permite escolher a aresta que iremos calcular nosso momento de inércia, assim vamos tomar nosso momento com relação ao eixo , ok ?
Desta forma, lembrando do nosso famoso pitagoras, ele ira dizer que, qualquer ponto dista de , por , assim tomando que nosso cubo é homogêneo, ou seja, , temos que
Passo 3
Vamos integrar primeiro para , assim temos
Integrando em
E por fim, vamos integrar em
Onde não podemos nos esquecer que, é nossa densidade volumétrica e vale
Assim temos que nosso momento de inércia será