Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.11 - Ex. 35
Se uma onda de água com comprimento se mover com velocidade ao longo de um copo de água com profundidade , como na figura, então,
- Se a água for profunda, mostre que
- Se a água for rasa, use a série de Maclaurin para para mostrar que . (Então em agua rasa a velocidade de uma onda tende a ser independente do comprimento da onda).
- Use o Teorema da Estimativa de Series Alternadas para mostrar que se então a estimativa tem precisão .
Passo 1
Se a água for profunda, ou seja, se a profundidade for grande, então o produto também é grande.
E quanto maior for , mais próximo de será a tangente hiperbólica.
Assim, quando
Então
Passo 2
A série de Maclaurin nada mais é que um polinômio de Taylor centrado em zero.
Como ele não especifica qual grau ele quer, vamos usar grau 1 mesmo.
Calculando a derivada de grau 1, temos
Centrando no ponto :
Assim, a serie de mclaurin fica:
Como nosso
Assim, podemos dizer que
Passo 3
Substituindo isso na expressão de :
Passo 4
Como é uma função ímpar, a série de Maclaurin dela é uma série alternada. Assim, o erro que cometmos ao usar a sére de garu 1
pra aproximar essa função é menor que o primeiro termo desconsiderado, que no caso, é o termo referente a derivada terceira (já que a derivada segunda no ponto daria zero de qualquer forma).
Assim, o erro é tal que
Passo 5
Se , então
Substituindo isso ali na expressão do erro:
Passo 6
Assim, se
E
É o erro que se comete ao se aproximar
Isto é, ao se aproximar
Então
Ou seja, a estimativa tem precisão de aproximadamente
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)