Enunciado

Se uma onda de água com comprimento L se mover com velocidade v ao longo de um copo de água com profundidade d , como na figura, então,

v 2 = g L 2 π tgh ⁡ 2 π d L

  1. Se a água for profunda, mostre que v = g L 2 π
  2. Se a água for rasa, use a série de Maclaurin para tgh ⁡ para mostrar que v = g d . (Então em agua rasa a velocidade de uma onda tende a ser independente do comprimento da onda).
  3. Use o Teorema da Estimativa de Series Alternadas para mostrar que se L > 10 d então a estimativa v 2 = g d tem precisão 0,014 g L .

Passo 1

a )

Se a água for profunda, ou seja, se a profundidade d for grande, então o produto 2 π d L também é grande.

E quanto maior for 2 π d L , mais próximo de 1 será a tangente hiperbólica.

Assim, quando

2 π d L → ∞

tgh ⁡ 2 π d L → 1

Então

v 2 = g L 2 π . 1

v = g L 2 π

Passo 2

b )

A série de Maclaurin nada mais é que um polinômio de Taylor centrado em zero.

Como ele não especifica qual grau ele quer, vamos usar grau 1 mesmo.

Calculando a derivada de grau 1, temos

f X = tgh ⁡ X

f ' X = sech 2 ⁡ X

Centrando no ponto X = 0 :

f 0 = tgh ⁡ 0 = 0

f ' 0 = sech 2 ⁡ 0 = 1

Assim, a serie de mclaurin fica:

P 1 X = f 0 + f ' 0 X 1 1 ! = 0 + 1 . X

Como nosso X = 2 π d L

P 1 X = 2 π d L

Assim, podemos dizer que

tgh ⁡ 2 π d L ≈ 2 π d L

Passo 3

Substituindo isso na expressão de v 2 :

v 2 = g L 2 π tgh ⁡ 2 π d L

v 2 = g L 2 π 2 π d L

v 2 = g d

v = g d

Passo 4

c )

Como tgh ⁡ X é uma função ímpar, a série de Maclaurin dela é uma série alternada. Assim, o erro que cometmos ao usar a sére de garu 1

tgh ⁡ 2 π d L ≈ 2 π d L

pra aproximar essa função é menor que o primeiro termo desconsiderado, que no caso, é o termo referente a derivada terceira (já que a derivada segunda no ponto 0 daria zero de qualquer forma).

Assim, o erro é tal que

E r r o < f ' ' ' 0   . X 3 3 ! = 2 sech 2 ⁡ 0 3 tgh 2 ⁡ 0 - 1 3 ! 2 π d L 3 = 1 3 2 π d L 3

Passo 5

Se L > 10 d , então

d L < 1 10

Substituindo isso ali na expressão do erro:

E r r o < 1 3 2 π d L 3

E r r o < 1 3 2 π 10 3 = π 3 375

Passo 6

Assim, se

v 2 = g L 2 π tgh ⁡ 2 π d L

E

E r r o < π 3 375

É o erro que se comete ao se aproximar v 2 = g d

Isto é, ao se aproximar

tgh ⁡ 2 π d L ≈ 2 π d L

Então

v 2 = g L 2 π ∙ π 3 375 = 0,0132 g L

Ou seja, a estimativa tem precisão de aproximadamente 0,014 g L .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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