Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.11 - Ex. 35
Se uma onda de água com comprimento se mover com velocidade ao longo de um copo de água com profundidade , como na figura, então,
- Se a água for profunda, mostre que
- Se a água for rasa, use a série de Maclaurin para para mostrar que . (Então em agua rasa a velocidade de uma onda tende a ser independente do comprimento da onda).
- Use o Teorema da Estimativa de Series Alternadas para mostrar que se então a estimativa tem precisão .
Passo 1
Oii, galera! Cês tão bem?
Vamos entender o que essa questão quer de nós: Temos uma onda de água com comprimento com velocidade ao longo de um copo de água com profundidade e essa velocidade é dada por:
A parte a) quer que a gente mostre que podemos calcular a velocidade por
Se a água for profunda, podemos dizer que , que é a profundidade do copo, tende a infinito:
E partimos daí para chegarmos na nossa equação de .
A parte b) pede para usarmos a série de Maclaurin para a função para chegar na velocidade:
Supondo que a água é rasa, significa que o valor de é bem pequeno, então podemos aproximar o valor da função pelo valor do argumento para valores pequenos de argumento, então:
Finalmente, a parte c) pede para usarmos o Teorema da Estimativa de Series Alternadas para mostrar que se então a estimativa tem precisão . Relembrando esse teorema, ele traz que: para encontramos o erro de séries alternadas e convergentes, sua expressão é:
Vamos lá!
Passo 2
Se a água for profunda, ou seja, se a profundidade for grande, . Então o produto também é grande, . E quanto maior for , mais próximo de será a tangente hiperbólica.
Assim, quando o argumento da função:
Nossa função tangente hiperbólica tende a 1:
Então, substituindo na equação de velocidade que o enunciado nos deu:
Ficamos com:
Isolando o , chegamos finalmente no que queríamos encontrar:
Passo 3
A série de Maclaurin nada mais é que um polinômio de Taylor centrado em zero. Como ele não especifica qual grau ele quer, vamos usar grau 1 mesmo.
Calculando a derivada de grau 1 da função que estamos procurando:
Temos:
Centrando no ponto , a função original fica:
E sua derivada primeira fica:
Assim, a série de Maclaurin fica:
Como nosso argumento da função é , substituímos:
Assim, podemos dizer que, para valores pequenos de , ou seja, para profundidades rasas de água, temos:
Passo 4
Substituindo:
na expressão de :
Temos:
Simplificado os termos:
Finalmente, isolando :
Pronto! Chegamos na equação de velocidade que o enunciado pediu.
Passo 5
Sabemos que é uma função ímpar, pois . Dessa forma, segue que a série de Maclaurim deve possuir apenas os termos de ordem ímpar (pois os termos de ordem iriam fazer com que não fosse ímpar). Além disso, sabemos que a série de Maclaurin da função é:
que é uma série alternada! Sendo a série alternada, podemos utilizar o Teorema da Estimativa de Series Alternadas que diz:
Se for a soma de uma série alternada que satisfaz:
- ;
Então, .
Parece meio difícil o teorema, né? Mas vamos simplifica-lo: a condição (i) diz que a série deve ser decrescente, o que é verdadeiro para a série de maclaurin de , já que os termos sempre vão diminuindo. Além disso, os termos vão diminuindo até tender a zero. Dessa forma, o teorema nos garantirá, que o erro cometido na aproximação da soma exata por uma soma parcial contendo termos deve ser menor do que .
No nosso caso, começamos a ignorar a partir de (pegamos o primeiro termo e o segundo que é nulo), de forma que:
onde
Do enunciado, é dado que , de forma que:
Colocando essa informação na fórmula do erro, temos que:
Passo 6
O que conclúimos no passo anterior, foi que o erro cometido por aproximar por quando é, no máximo . Dessa forma, o erro cometido ao aproximar é:
Como:
Segue, finalmente, que a aproximação para possui um erro no máximo de .
Resposta
- Demonstração.
- Demonstração.