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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.Exercícios práticos - Ex. 3

3 - O sólido está situado entre os planos perpendiculares ao eixo x em x = π 4 e x = 5 π 4 As seções transversais entre esses planos são discos circulares cujos diâmetros vão da curva y = 2  cos ⁡ x à curva y = 2   s e n   x .

Passo 1

Primeiramente descobrir a função:

A x = π 4 d i â m e t r o 2 = π 4 2 cos ⁡ x - 2   s e n   x 2

A x = π 4 4 cos 2 ⁡ x - 8 cos ⁡ x   s e n   x + 4 s e n 2 x

Utilizando a identidade trigonométrica:

cos 2 ⁡ x + s e n 2 x = 1

Teremos assim:

cos 2 ⁡ x = 1 - s e n 2 x

s e n 2 x = 1 - cos 2 ⁡ x

Deste modo:

A x = π 4 ⋅ 4 s e n 2 x - 2 cos ⁡ x   s e n   x + cos 2 ⁡ x

A x = π s e n 2 x - 2 c o s x ⋅ s e n x + cos 2 ⁡ x

Temos: a = π 4 ,   b = 5 π 4

Calculando volume temos:

V =   ∫ π / 4 5 π / 4 A x d x = ∫ π 4 5 π 4 π s e n 2 x - 2 c o s x ⋅ s e n x + cos 2 ⁡ x d x = π ∫ π 4 5 π 4 s e n 2 x - 2 c o s x ⋅ s e n x + cos 2 ⁡ x   d x

V = π ∫ π 4 5 π 4 s e n 2 x - 2 cos ⁡ x ⋅ s e n x + cos 2 ⁡ x   d x

Utilizando: s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 e 2 s e n x ⋅ cos ⁡ x = s e n 2 ⋅ x

V = π ∫ π 4 5 π 4 1 - s e n 2 x d x

Utilizando a substituição u d u

u = 2 x

d u = 2   d x

d x = 1 2 d u

Assim:

V = π ∫ π 4 5 π 4 1   d x - π ∫ π 4 5 π 4 s e n u 2 d u =   π x - cos ⁡ u 2 π 4 5 π 4

Substituindo u = 2 x

V = π x - cos ⁡ 2 x 2 π 4 5 π 4

Passo 2

Realizando os limites de integração:

V = π 5 π 4 - cos ⁡ 2 ⋅ 5 π 4 2 - π 4 - cos ⁡ 2 π 4 2

Utilizando:

cos ⁡ 5 π 2 = 0 e cos ⁡ π 2 = 0

V = π 5 π 4 - 0 2 - π 4 + 0 2 = π 4 π 4 =   π π =   π 2   u . v .

Resposta

π 2   u . v .

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