Primeiramente descobrir a função:
A x = π 4 d i â m e t r o 2 = π 4 2 cos x - 2 s e n x 2
â
A x = π 4 4 cos 2 x - 8 cos x s e n x + 4 s e n 2 x
Utilizando a identidade trigonométrica:
cos 2 x + s e n 2 x = 1
Teremos assim:
cos 2 x = 1 - s e n 2 x
s e n 2 x = 1 - cos 2 x
Deste modo:
A x = π 4 ⋅ 4 s e n 2 x - 2 cos x s e n x + cos 2 x
A x = π s e n 2 x - 2 c o s x ⋅ s e n x + cos 2 x
Temos:
a = π 4 , b = 5 π 4
Calculando volume temos:
V = ∫ π / 4 5 π / 4 A x d x = ∫ π 4 5 π 4 π s e n 2 x - 2 c o s x ⋅ s e n x + cos 2 x d x = π ∫ π 4 5 π 4 s e n 2 x - 2 c o s x ⋅ s e n x + cos 2 x d x
V = π ∫ π 4 5 π 4 s e n 2 x - 2 cos x ⋅ s e n x + cos 2 x d x
Utilizando:
s e n 2 x + cos 2 x = 1
e
2 s e n x ⋅ cos x = s e n 2 ⋅ x
V = π ∫ π 4 5 π 4 1 - s e n 2 x d x
Utilizando a substituição
u d u
u = 2 x
d u = 2 d x
d x = 1 2 d u
Assim:
V = π ∫ π 4 5 π 4 1 d x - π ∫ π 4 5 π 4 s e n u 2 d u = π x - cos u 2 π 4 5 π 4
Substituindo
u = 2 x
V = π x - cos 2 x 2 π 4 5 π 4