Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 44
Se um som com frequência for produzido por uma fonte se movendo ao longo de uma reta com velocidade e um observador estiver se movendo com velocidade ao longo da mesma reta a partir da direção oposta, em direção à fonte, então a frequência do som ouvido pelo observador é
onde é a velocidade do som, cerca de . (Este é o efeito Doppler.) Suponha que, em um momento particular, você está em um trem se movendo a e acelerando a. Um trem se aproxima de você da direção oposta no outro trilho a , acelerando a , e toca seu apito, que tem frequência de . Neste instante, qual é a frequência aparente que você ouve e quão rapidamente ela está variando?
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivada com regra da cadeia, vamos lá!
A questão da um contexto (enorme, inclusive) para descrever a função
Onde .
Em seguida a questão nos pede para encontrar a frequência aparente () quando
E isso é simples: Só substituir esses dados na fórmula!
Não contente com isso, a questão ainda pede para que encontremos a variação de , isto é
Mas como fazemos isso? Veja que as variáveis e (velocidade) são funções do tempo! Dessa forma podemos usar a regra da cadeia para múltiplas variáveis!
Para uma função no formato onde e , a derivada pode ser definida como:
E lembre que a aceleração é a derivada da velocidade, de forma que já temos quase todos os termos dessa fórmula! Assim, só precisamos calcular as derivadas parciais de e teremos nossa resposta!
Passo 2
Para calcular a frequência aparente, basta substituir os valores, temos que e e
Passo 3
Buscamos
Calculando as derivadas parciais
Substituindo de volta na regra da cadeia
Podemos colocar em evidencia
Passo 4
A questão também nos deu
Assim, a nossa equação vai ficar da seguinte forma
Por fim, substituindo os valores das velocidades , temos