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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 54

Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.

Suponha z = f ( x , y ) , onde x = g ( s , t ) e y = h ( s , t ) .

(a) Mostre que

∂ 2 z ∂ t 2 = ∂ 2 z ∂ x 2 ∂ x ∂ t 2 + 2 ∂ 2 z ∂ x ∂ y ∂ x ∂ t ∂ y ∂ t + ∂ 2 z ∂ y 2 ∂ y ∂ t 2 + ∂ z ∂ x ∂ 2 x ∂ t 2 + ∂ z ∂ y ∂ 2 y ∂ t 2

(b) Determine uma fórmula semelhante para ∂ 2 z / ∂ s   ∂ t .

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parcias com regra da cadeia, vamos lá!

A questão diz pra gente que uma função do tipo z = f ( x , y ) tem x = g ( s , t ) e y = h ( s , t ) e em seguida pede provar a seguinte expressão

∂ 2 z ∂ t 2 = ∂ 2 z ∂ x 2 ∂ x ∂ t 2 + 2 ∂ 2 z ∂ x ∂ y ∂ x ∂ t ∂ y ∂ t + ∂ 2 z ∂ y 2 ∂ y ∂ t 2 + ∂ z ∂ x ∂ 2 x ∂ t 2 + ∂ z ∂ y ∂ 2 y ∂ t 2

E para provar essa expressão a gente só precisa calcular a derivada segunda de z em t !

Vamos relembrar a regra da cadeia para funções múltiplas variáveis:

Para uma função no formato z ( x , y ) onde x = g ( s , t ) e y = h ( s , t ) , a derivada d z / d t pode ser definida como:

∂ z ∂ t =   ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ t + ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ t

E para o nosso caso, onde queremos a derivada segunda, podemos reescrever o objetivo como o seguinte

∂ 2 z ∂ t 2 = ∂ ∂ t ∂ z ∂ t

Dessa forma, só precisamos substituir e responder essa expressão que teremos nossa resposta!

Após isso a questão ainda pede a derivada cruzada de z em s e t , onde o processo vai ser bem parecido!

Passo 2

A derivada d z / d t é definida como

∂ z ∂ t =   ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ t + ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ t

De forma que a derivada segunda pode ser dada por

∂ 2 z ∂ t 2 = ∂ ∂ t ∂ z ∂ t

∂ 2 z ∂ t 2 = ∂ ∂ t ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ t + ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ t

Podemos expandir essa expressão usando a regra do produto!

∂ 2 z ∂ t 2 = ∂ ∂ t ∂ z ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ ∂ t ∂ x ∂ t ∂ z ∂ x + ∂ ∂ t ∂ z ∂ y ∂ y ∂ t + ∂ ∂ t ∂ y ∂ t ∂ z ∂ y

Ou ainda

∂ 2 z ∂ t 2 = ∂ ∂ t ∂ z ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ ∂ t ∂ z ∂ y ∂ y ∂ t + ∂ ² x ∂ t ² ∂ z ∂ x + ∂ ² y ∂ t ² ∂ z ∂ y

Onde, usando a regra da cadeia para derivar em t , temos

∂ ∂ t ∂ z ∂ x =   ∂ ∂ x ��� z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ t + ∂ ∂ y ∂ z ∂ x ⋅ ∂ y ∂ t

∂ ∂ t ∂ z ∂ x =   ∂ ² z ∂ x ² ⋅ ∂ x ∂ t + ∂ ² z ∂ y ∂ x ⋅ ∂ y ∂ t

E também

∂ ∂ t ∂ z ∂ y =   ∂ ∂ x ∂ z ∂ y ⋅ ∂ x ∂ t + ∂ ∂ y ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ t

∂ ∂ t ∂ z ∂ y =   ∂ ² z ∂ x ∂ y ⋅ ∂ x ∂ t + ∂ ² z ∂ y ² ⋅ ∂ y ∂ t

De forma que substituindo na equação ficamos com

∂ 2 z ∂ t 2 = ∂ 2 z ∂ x 2 ∂ x ∂ t + ∂ 2 z ∂ y ∂ x ∂ y ∂ t ∂ x ∂ t + ∂ 2 z ∂ x ∂ y ∂ x ∂ t + ∂ 2 z ∂ y 2 ∂ y ∂ t ∂ y ∂ t + ∂ ² x ∂ t ² ∂ z ∂ x + ∂ ² y ∂ t ² ∂ z ∂ y

Ou ainda, após expandir essa expressão e reorganizar os termos

∂ 2 z ∂ t 2 = ∂ 2 z ∂ x 2 ∂ x ∂ t 2 + ∂ 2 z ∂ y ∂ x ∂ y ∂ t ∂ x ∂ t + ∂ 2 z ∂ x ∂ y ∂ x ∂ t ∂ y ∂ t + ∂ 2 z ∂ y 2 ∂ y ∂ t 2 + ∂ ² x ∂ t ² ∂ z ∂ x + ∂ ² y ∂ t ² ∂ z ∂ y

Pelo teorema de Clairaut, sabemos que as derivadas cruzadas/mistas são iguais, de forma que

∂ 2 z ∂ t 2 = ∂ 2 z ∂ x 2 ∂ x ∂ t 2 + 2 ∂ 2 z ∂ x ∂ y ∂ x ∂ t ∂ y ∂ t + ∂ 2 z ∂ y 2 ∂ y ∂ t 2 + ∂ ² x ∂ t ² ∂ z ∂ x + ∂ ² y ∂ t ² ∂ z ∂ y

Que é exatamente a expressão que buscávamos!

Passo 3

Agora queremos buscar uma expressão para

∂ 2 z ∂ s ∂ t

Ou ainda

∂ ∂ s ∂ z ∂ t

E como já definimos

∂ z ∂ t =   ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ t + ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ t

Só precisamos derivar isso em s ! De forma que

∂ 2 z ∂ s ∂ t = ∂ ∂ s ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ t + ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ t

Utilizando a regra do produto

∂ 2 z ∂ s ∂ t = ∂ ∂ s ∂ z ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ ∂ s ∂ x ∂ t ∂ z ∂ x + ∂ ∂ s ∂ z ∂ y ∂ y ∂ t + ∂ ∂ s ∂ y ∂ t ∂ z ∂ y

Ou ainda

∂ 2 z ∂ s ∂ t = ∂ ∂ s ∂ z ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ x ² ∂ s ∂ t ∂ z ∂ x + ∂ ∂ s ∂ z ∂ y ∂ y ∂ t + ∂ y ² ∂ s ∂ t ∂ z ∂ y

Onde, usando a regra da cadeia para calcular as derivadas em s , temos

∂ ∂ s ∂ z ∂ x =   ∂ ∂ x ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ s + ∂ ∂ y ∂ z ∂ x ⋅ ∂ y ∂ s

∂ ∂ s ∂ z ∂ x =   ∂ ² z ∂ x ² ⋅ ∂ x ∂ s + ∂ ² z ∂ y ∂ x ⋅ ∂ y ∂ s

E

∂ ∂ s ∂ z ∂ y =   ∂ ∂ x ∂ z ∂ y ⋅ ∂ x ∂ s + ∂ ∂ y ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ s

∂ ∂ s ∂ z ∂ y =   ∂ ² z ∂ x ∂ y ⋅ ∂ x ∂ s + ∂ ² z ∂ y ² ⋅ ∂ y ∂ s

Substituindo na equação anterior

∂ 2 z ∂ s ∂ t = ∂ 2 z ∂ x 2 ∂ x ∂ s + ∂ 2 z ∂ y ∂ x ∂ y ∂ s ∂ x ∂ t + ∂ x ² ∂ s ∂ t ∂ z ∂ x + ∂ ² z ∂ x ∂ y ∂ x ∂ s + ∂ ² z ∂ y ² ∂ y ∂ s ∂ y ∂ t + ∂ y ² ∂ s ∂ t ∂ z ∂ y

Ou ainda, após expandir essa expressão e reorganizar os termos

∂ 2 z ∂ s ∂ t = ∂ 2 z ∂ x 2 ∂ x ∂ s ∂ x ∂ t + ∂ 2 z ∂ y ∂ x ∂ y ∂ s ∂ x ∂ t + ∂ ² z ∂ x ∂ y ∂ x ∂ s ∂ y ∂ t + ∂ ² z ∂ y ² ∂ y ∂ s ∂ y ∂ t + ∂ x ² ∂ s ∂ t ∂ z ∂ x + ∂ y ² ∂ s ∂ t ∂ z ∂ y

Ou ainda

∂ 2 z ∂ s ∂ t = ∂ 2 z ∂ x 2 ∂ x ∂ s ∂ x ∂ t + ∂ 2 z ∂ y ∂ x ∂ y ∂ s ∂ x ∂ t + ∂ x ∂ s ∂ y ∂ t + ∂ ² z ∂ y ² ∂ y ∂ s ∂ y ∂ t + ∂ x ² ∂ s ∂ t ∂ z ∂ x + ∂ y ² ∂ s ∂ t ∂ z ∂ y

Resposta

(a) A expressão

∂ 2 z ∂ t 2 = ∂ 2 z ∂ x 2 ∂ x ∂ t 2 + 2 ∂ 2 z ∂ x ∂ y ∂ x ∂ t ∂ y ∂ t + ∂ 2 z ∂ y 2 ∂ y ��� t 2 + ∂ ² x ∂ t ² ∂ z ∂ x + ∂ ² y ∂ t ² ∂ z ∂ y

É válida

(b)

∂ 2 z ∂ s ∂ t = ∂ 2 z ∂ x 2 ∂ x ∂ s ∂ x ∂ t + ∂ 2 z ∂ y ∂ x ∂ y ∂ s ∂ x ∂ t + ∂ x ∂ s ∂ y ∂ t + ∂ ² z ∂ y ² ∂ y ∂ s ∂ y ∂ t + ∂ x ² ∂ s ∂ t ∂ z ∂ x + ∂ y ² ∂ s ∂ t ∂ z ∂ y

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5. Considere a função z = (del f)/(del x) (x , s e n 3 x) . Verifique que(d z)/(d x) = (del^2 f)/(del x^2) (x , s e n 3 x) + 3 cos 3 x (del^2 f)/(del y del x) (x , s e n 3 x) .
1. Expresse g ' ( t ) em termos de derivadas parciais de f , sendo g dada pora) g t = ∂ f ∂ x x , y ,x = t 2 e y = s e n t .
1. Expresse g ' ( t ) em termos de derivadas parciais de f , sendo g dada porb) g t = t 3 ∂ f ∂ x ( 3 t , 2 t )
5. Considere a função z = x (del f)/(del x) (2 x , x^2) . Verifique que(del z)/(del x) = (del f)/(del x) (2 x , x^3) + x [2 (del^2 f)/(del y del x) (2 x , x^2) + 3 x^2 (del^2 f)/(del x^2) (2 x , x^2)]
2. Expresse g ' ' ( t ) em termos de derivadas parciais de f , sendo g t = f ( 5 t , 4 t )