Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.4 - Ex. 38

A pressão, o volume e a temperatura de um mol de um gás ideal estão relacionados pela equação P V = 8,31 T , onde P é medida em quilopascals, V em litros e T em kelvins. Utilize diferenciais para determinar a variação aproximada da pressão se o volume aumenta de 12   L para 12,3   L e a temperatura diminui de 310   K para 305   K .

Passo 1

Oie, vamos resolver essa atividade?

Veja, temos aqui uma situação onde dada a equação:

P ⋅ V = 8,13 T

Que relaciona a pressão, o volume e a temperatura, queremos descobrir a variação da pressão quando:

V = 12 → 12,3

E também:

T = 310 K → 305 K

Faremos isso utilizando de diferenciais.

Dada uma função do tipo:

f x , y = z

O seu diferencial é dado por:

d z = ∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y

Para essa situação, ele será dado por:

d P = P v d V + P T d T

Então deveremos calcular as derivadas parciais.

Passo 2

Como ele quer uma aproximação para a variação da pressão, vamos isolar ela na fórmula

P V = 8,31 T

P V , T = 8,31 T V

Achando as derivadas parciais, deveremos derivar em relação a T e considerar todas as outras variáveis constantes para encontrarmos P T :

P V , T = 8,31 T V

P T = 8,31 V

Achando as derivadas parciais, deveremos derivar em relação a V e considerar todas as outras variáveis constantes para encontrarmos P V :

P V , T = 8,31 T V

Reescrevendo:

P V , T = 8,31 T ⋅ V - 1

Temos então:

P V = - 8,31 T V 2

Então o diferencial é:

d P = P v d V + P T d T

d P = 8,31 V d T - 8,31 T V 2 d V

Passo 3

Se o volume aumenta de 12   L para 12,3   L então d V = 0,3   L e a temperatura diminui de 310   K para 305   K , então d T = - 5 K :

Substituindo:

d P = P v d V + P T d T

d P = 8,31 12 ( - 5 ) - 8,31 ( 310 ) 12 2 0,3

Temos então:

d P = - 3,46 - 5,37

Aqui está nossa variação:

d P = - 8,83   K P a

Resposta

d P = - 8,83   K P a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Defina diferencial de uma função de três variáveis.
A energia consumida num resistor elétrico é dada por P = V 2 R watts. Se V = 100 volts e R = 10 ohms, calcule um valor aproximado para a variação de Δ P em P , quando V decresce 0,2 volt e R aumenta d
Calcule a diferencial.s = (1 + x^2)^(y z)
Um dos catetos de um triângulo retângulo é x = 3c m e o outro, y = 4c m . Calcule um valor aproximado para a variação Δ z na hipotenusa z , quando x aumenta 0,01c m e y decresce 0,1c m .
A altura de um cone é h = 20c m e o raio da base r = 12c m . Calcule um valor aproximado para a variação Δ V no volume quando h aumenta 2m m e r decresce 1m m .