A pressão, o volume e a temperatura de um mol de um gás ideal estão relacionados pela equação P V = 8,31 T , onde P é medida em quilopascals, V em litros e T em kelvins. Utilize diferenciais para determinar a variação aproximada da pressão se o volume aumenta de 12   L para 12,3   L e a temperatura diminui de 310   K para 305   K .

Passo 1

Oie, vamos resolver essa atividade?

Veja, temos aqui uma situação onde dada a equação:

P ⋅ V = 8,13 T

Que relaciona a pressão, o volume e a temperatura, queremos descobrir a variação da pressão quando:

V = 12 → 12,3

E também:

T = 310 K → 305 K

Faremos isso utilizando de diferenciais.

Dada uma função do tipo:

f x , y = z

O seu diferencial é dado por:

d z = ∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y

Para essa situação, ele será dado por:

d P = P v d V + P T d T

Então deveremos calcular as derivadas parciais.

Passo 2

Como ele quer uma aproximação para a variação da pressão, vamos isolar ela na fórmula

P V = 8,31 T

P V , T = 8,31 T V

Achando as derivadas parciais, deveremos derivar em relação a T e considerar todas as outras variáveis constantes para encontrarmos P T :

P V , T = 8,31 T V

P T = 8,31 V

Achando as derivadas parciais, deveremos derivar em relação a V e considerar todas as outras variáveis constantes para encontrarmos P V :

P V , T = 8,31 T V

Reescrevendo:

P V , T = 8,31 T ⋅ V - 1

Temos então:

P V = - 8,31 T V 2

Então o diferencial é:

d P = P v d V + P T d T

d P = 8,31 V d T - 8,31 T V 2 d V

Passo 3

Se o volume aumenta de 12   L para 12,3   L então d V = 0,3   L e a temperatura diminui de 310   K para 305   K , então d T = - 5 K :

Substituindo:

d P = P v d V + P T d T

d P = 8,31 12 ( - 5 ) - 8,31 ( 310 ) 12 2 0,3

Temos então:

d P = - 3,46 - 5,37

Aqui está nossa variação:

d P = - 8,83   K P a

Resposta

d P = - 8,83   K P a

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