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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 12

A fórmula de Taylor

f x = f a + f ' a x - a + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … + f n a n ! x - a n + f n + 1 a ( n + 1 ) ! x - a n + 1

expressa o valor de f em x em termos dos valores de f e suas derivadas em x = a . Em computações numéricas, precisamos, portanto, que a seja um ponto onde conheçamos os valores de f e suas derivadas. Precisamos também que a esteja próximo o bastante dos valores de f em que estamos interessados para que x - a n + 1 seja tão pequeno que possamos desprezar o resto.

Nos Exercícios 9-14, quais séries de Taylor você escolheria para representar a função próxima do valor dado de x ? (Pode haver mais de uma boa resposta.) Escreva os quatro primeiros termos diferentes de zero da série que você escolher.

12. ln ⁡ x próximo de x = 1,3

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Consideremos f x = ln ⁡ x . Temos que encontrar os valores de f ( x ) perto do ponto x = 1 , 3 . O ponto mais próximo de 1 , 3 é 1 ​ onde podemos facilmente calcular f , os valores de f e suas derivadas. Escolhemos a série de Taylor da função dada em torno de a = 1 . A série de Taylor para a função f ( x ) no ponto a = 1 é dada por

f x = f 1 + f ' 1 x - 1 + f ' ' 1 2 !   x - 1 2 + f ' ' ' 1 3 !   x - 1 3 + …

Passo 2

Agora, nossa missão é encontrar f 1 ,     f ' 1 ,     f ' ' 1   ,     f ' ' ' 1   e   f 4 ( x ) . Diferenciando f ( x ) três vezes, obtemos que

f x = ln ⁡ x

f ' x = 1 x

f ' ' x = - 1 x 2

f ' ' ' x = 2 x 3

f 4 x = - 6 x 4

Agora, fazendo a substituição de x = 1 , nós temos que

f 1 = 0

f ' 1 = 1

f ' ' 1 = - 1

f ' ' ' 1 = 2

f 4 x = - 6

Passo 3

Portanto, do exposto acima, os primeiros quatro termos diferentes de zero da série de Taylor gerados por f no ponto x = 0 é igual a

f x = ln ⁡ x = f 1 + f ' 1 x - 1 + f ' ' 1 2 !   x - 1 2 + f ' ' ' 1 3 !   x - 1 3 + …

Substituindo os termos

f x = ( x - 1 ) - x - 1 2 2 + x - 1 3 3 + x - 1 4 4 + …

Resposta

f x = ln ⁡ x = = ( x - 1 ) - x - 1 2 2 + x - 1 3 3 + x - 1 4 4 + …

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