Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 32b

Determinar as derivadas parciais de 1 ª ordem das funções x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) definidas implicitamente pelo sistema dado:

b) x + u - v = 3 y - 3 u v + v 2 = 0

Passo 1

Bom, pessoal, sabemos que x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) são definidas pelas equações F x , y , u , v = 0 e G x , y , u , v = 0 . Assim,

F x , y , z = 0 G x , y , z = 0

Então, podemos reescrever a nossa equação como:

F x , y , u , v = x + u - v - 3 G x , y , u , v = y - 3 u v + v 2

Podemos determinar as derivadas parciais de x e y em relação a u e v com o auxílio da regra da cadeia. Mantendo v constante e derivando em relação a u , obtemos:

∂ F ∂ x ⋅ ∂ x ∂ u + ∂ F ∂ y ⋅ ∂ y ∂ u + ∂ F ∂ u ⋅ ∂ u ∂ u + ∂ F ∂ v ⋅ ∂ v ∂ u = 0 ∂ G ∂ x ⋅ ∂ x ∂ u + ∂ G ∂ y ⋅ ∂ y ∂ u + ∂ G ∂ u ⋅ ∂ u ∂ u + ∂ G ∂ v ⋅ ∂ v ∂ u = 0

∂ F ∂ x ⋅ ∂ x ∂ u + ∂ F ∂ y ⋅ ∂ y ∂ u = - ∂ F ∂ u ∂ G ∂ x ⋅ ∂ x ∂ u + ∂ G ∂ y ⋅ ∂ y ∂ u = - ∂ G ∂ u

O sistema de equações lineares para as incógnitas ∂ x ∂ u e ∂ y ∂ u . Assim, nos pontos em que o detemrinante do sistema é diferente de zero, ele tem solução única. Sua solução pode ser obtida pela regra de Cramer!

∂ x ∂ u = - ∂ F ∂ u ∂ F ∂ y ∂ G ∂ u ∂ G ∂ y ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y ∂ G ∂ x ∂ G ∂ y

∂ y d u = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ u ∂ G ∂ x ∂ G ∂ u ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y ∂ G ∂ x ∂ G ∂ y

Desse modo, as derivadas parciais de F e G são:

∂ F ∂ x = 1 ;   ∂ F ∂ y = 0

∂ F ∂ u = 1 ;   ∂ F ∂ v = - 1

∂ G ∂ x = 0 ;   ∂ G ∂ y = 1

∂ G ∂ u = - 3 v ;   ∂ G ∂ v = 2 v - 3 u

Passo 2

Assim, os valores para ∂ x ∂ u   e ∂ y ∂ u são:

∂ x ∂ u = - 1 0 - 3 v 1 1 0 0 1 = - 1 1

∂ x ∂ u = - 1

∂ y ∂ u = - 1 1 0 - 3 v 1 0 0 1 = 3 v 1

∂ y ∂ u = 3 v

Passo 3

Para as derivadas em relação a v , fazemos passos parecidos com os anteriores. Mantendo u constante e derivando em relação a v :

∂ F ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ F ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v + ∂ F ∂ v ⋅ ∂ v ∂ v + ∂ F ∂ u ⋅ ∂ u ∂ v = 0 ∂ G ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ G ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v + ∂ G ∂ v ⋅ ∂ v ∂ v + ∂ G ∂ u ⋅ ∂ u ∂ v = 0

∂ F ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ F ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v = - ∂ F ∂ v ∂ G ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ G ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v = - ∂ G ∂ v

O sistema de equações lineares para as incógnitas ∂ x ∂ v e ∂ y ∂ v . Assim, nos pontos em que o determinante do sistema é diferente de zero, ele tem solução única. Sua solução pode ser obtida pela regra de Cramer!

∂ x ∂ v = - ∂ F ∂ v ∂ F ∂ y ∂ G ∂ v ∂ G ∂ y ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y ∂ G ∂ x ∂ G ∂ y

∂ y d v = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ v ∂ G ∂ x ∂ G ∂ v ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y ∂ G ∂ x ∂ G ∂ y

Passo 4

Assim, os valores para ∂ x ∂ v   e ∂ y ∂ v são:

∂ x ∂ v = - - 1 0 - 3 u + 2 v 1 1 0 0 1 = 1 1

∂ x ∂ v = 1

∂ y d v = - 1 - 1 0 - 3 u + 2 v 1 0 0 1 = - 2 v + 3 u 1

∂ y ∂ v = - 2 v + 3 u

Resposta

As derivadas são iguais a:

∂ x ∂ u = - 1

∂ y ∂ u = 3 v

∂ x ∂ v = 1

∂ y ∂ v = - 2 v + 3 u

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o valor de ∂z/∂x no ponto (1, 1, 1) se a equação xy + z³x – 2yz = 0 define z como uma função de duas variáveis independentes x e y e se a derivada parcial existe.
Encontre f x,f y,f x yef y x e diga qual é o domínio para cada derivada parcial.
Encontre o valor de ∂x/∂z no ponto (1, –1, –3) se a equação xz + y ln x – x2 + 4 = 0 define x como uma função de duas variáveis independentes y e z e se a derivada parcial existe
Encontre f x,f y,f x yef y x e diga qual é o domínio para cada derivada parcial.
Os Exercícios 67 e 68 estão relacionados com o triângulo mostrado a seguir.Expresse A implicitamente com uma função de a, b e c e calcule ∂A/∂a e ∂A/∂b