Determine o centro de massa da região A dada.

A = {(x, y) ∈ R^2 | x^2 + 4y^2 ≤ 1, y ≥ 0}

Passo 1

Primeiro, vamos pegar a primeira região e isolar o y

x 2 + 4 y 2 = 1 y = 1 - x 2 2

Passo 2

Agora é só substituir nas fórmulas de centro de massa. Os limites de integração são dados pelas interseções entre as funções, ou seja, [-1,1]

Para x c

x c = ∫ a b x f ( x )   d x ∫ a b f ( x )   d x

x c = ∫ - 1 1 x 1 - x 2 2   d x ∫ - 1 1 1 - x 2 2   d x

Resolvendo essas integrais, temos que x c = 0

Passo 3

Para y c

y c = 1 2 ∫ a b ( f x - g x ) ( f x + g x ) d x ∫ a b [ f x - g ( x ) ] d x

y c = 1 2 ∫ - 1 1 1 - x 2 2 2 d x ∫ - 1 1 1 - x 2 2 d x

Resolvendo essas integrais, temos que y c = 2 3 π

Resposta

x c = 0

y c = 2 3 π

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