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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.9 - Ex. 1c

Determine o centro de massa da região A dada.

A = { ( x , y ) in R^2 |x^2 + 4 y^2 <= 1 , y >= 0 })

Passo 1

Primeiro, vamos pegar a primeira região e isolar o y

x^2 + 4 y^2 = 1 y = (sqrt(1 - x^2))/(2)

Passo 2

Agora é só substituir nas fórmulas de centro de massa. Os limites de integração são dados pelas interseções entre as funções, ou seja, [-1,1]

Para x_c

x_c = (int_a^b x f ( x ) d x)/(int_a^b f ( x ) d x)

x_c = (int_(- 1)^1 x (sqrt(1 - x^2))/(2) d x)/(int_(- 1)^1 (sqrt(1 - x^2))/(2) d x)

Resolvendo essas integrais, temos que x_c = 0

Passo 3

Para y_c

y_c = ((1)/(2) int_a^b ( f (x) - g (x) ) ( f (x) + g (x) ) d x)/(int_a^b [ f (x) - g ( x ) ] d x)

y_c = ((1)/(2) int_(- 1)^1 ((sqrt(1 - x^2))/(2))^2 d x)/(int_(- 1)^1 (sqrt(1 - x^2))/(2) d x)

Resolvendo essas integrais, temos que y_c = (2)/(3 pi)

Resposta

x_c = 0

y_c = (2)/(3 pi)

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