Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 1.1 - Ex. 2
Seja dada por
- Verifique que se os forem racionais tende a , quando .
- Prove que não é integrável em .
Passo 1
Sabemos que é integrável, segundo Riemann, se
Independente dos valores de .
Passo 2
Aplicando ao problema, deve-se encontrar uma forma de calcular oque está interno ao somatório. Assim, temos
Isso acontece porque é para e para .
Passo 3
Note que o valor dependerá de ser um número racional ou não. Assim, já pode-se afirmar que a integral não existe. No entanto a “letra a” pede que calcule o somatório considerando apenas racionais e a “letra b” pede pra provar que a integral não existe, então ainda há trabalho!
Passo 4
Resolvendo a “letra a”, você pode achar que, por , o somatório também é zero. Isto está errado!
Apesar de , ele ainda é um número muito pequeno, que somado muitas vezes tende a ser um número considerável. Assim, vamos tentar fazer esse somatório, reescrevendo como e como .
Para racionais,
Lembrando que e são as extremidades do intervalo. Observe que com excessão dessas duas extremidades, todos aparecem uma vez positivo e uma vez negativo, ou seja, são cancelados.
Assim é possível simplificar,
Para racionais,
Logo,
Passo 5
Resolvendo a “letra b”, você precisa apenas analisar a idéia de que o resultado independe da escolha dos valores de .
Do enunciado, se irracional, o resultado é zero, e do Passo 4, se racional, o resultado é . Logo é a integral não existe.
Resposta
Letra a - O valor do somatório é , para a escolha de com valores racionais.
Letra b - Como o resultado depende do valor de ser racional ou irracional, não existe uma integral (segundo Riemann).