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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.10 - Ex. 7

Suponha que x 2 + y 2 = r 2 e x = r c o s ⁡ θ , como nas coordenadas polares. Encontre

∂ x ∂ r θ  e  ∂ r ∂ x y

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício suponha que x 2 + y 2 = r 2 e x = r c o s ⁡ θ em coordenadas polares.Encontraremos então

∂ x ∂ r θ  e  ∂ r ∂ x y

Passo 2

diagrama será:

r θ → x = r c o s ⁡ θ y = r s e n ⁡ θ

Assim, temos então que a derivada é:

∂ x ∂ r θ = c o s ⁡ θ

Derivando x 2 + y 2 = r 2 temos: 2 x + 2 y ∂ y ∂ x = 2 r ∂ r ∂ x e temos que ∂ y ∂ x = 0 .Substituindo ∂ y ∂ x = 0 em 2 x + 2 y ∂ y ∂ x = 2 r ∂ r ∂ x chegamos a:

2 x = 2 r ∂ r ∂ x ∂ r ∂ x = x r

Resposta

∂ r ∂ x y = x x 2 - y 2

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