Suponha u_ρ(θ) = cos(θ) * i + sen(θ) * j , u_θ(θ) = -sen(θ) i + cos(θ) j e r(t) = ρ(t) u^ρ(θ(t)) , com θ = θ(t) e ρ = ρ(t) deriváveis até a 2ª ordem num intervalo I .

Notação:

ρ˙ = dρ/dt, θ˙ = dθ/dt, ρ¨ = d²ρ/dt²

Verifique que

a → = [ ρ¨ - ρ * θ˙² ]uᵨ + [ 2 * ρ˙ * θ˙ + ρ * θ¨ ]θᵨ

Passo 1

O vetor aceleração a → é a derivada do vetor velocidade que foi encontrado no item c

v → = ρ ˙   u → ρ + ρ   θ ˙   u → θ

Então derivando

a → = ρ ¨   u → ρ +   ρ ˙ d u → ρ d t + ρ ˙   θ ˙   u → θ + ρ   θ ¨   u → θ + ρ   θ ˙ d u → θ d t

Usando as relações dos itens anteriores

a → = ρ ¨   u → ρ +   ρ ˙   θ ˙   u → θ + ρ ˙   θ ˙   u → θ + ρ   θ ¨   u → θ + ρ   θ ˙   - θ ˙   u → ρ

a → = ρ ¨   u → ρ +   ρ ˙   θ ˙   u → θ + ρ ˙   θ ˙   u → θ + ρ   θ ¨   u → θ - ρ   θ ˙ 2   u → ρ

Colocando u → ρ e u → θ em evidencia

a → = ρ ¨ - ρ θ ˙ 2   u → ρ + [ 2 ρ ˙ θ ˙ + ρ θ ¨ ]   u → θ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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