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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.5 - Ex. 14d

Suponha u → ρ θ = cos ⁡ θ i → + sen ⁡ θ j → , u → θ θ = - sen ⁡ θ i → + cos ⁡ θ j → e r → t = ρ t   u → ρ θ ( t ) , com θ = θ t e ρ = ρ t deriváveis até a 2ª ordem num intervalo I .

Notação:

ρ ˙ = d ρ d t ,   θ ˙ = d θ d t ,   ρ ¨ = d 2 ρ d t 2

Verifique que

a → = ρ ¨ - ρ θ ˙ 2 u → ρ + 2 ρ ˙ θ ˙ + ρ θ ¨   u → θ

Passo 1

O vetor aceleração a → é a derivada do vetor velocidade que foi encontrado no item c

v → = ρ ˙   u → ρ + ρ   θ ˙   u → θ

Então derivando

a → = ρ ¨   u → ρ +   ρ ˙ d u → ρ d t + ρ ˙   θ ˙   u → θ + ρ   θ ¨   u → θ + ρ   θ ˙ d u → θ d t

Usando as relações dos itens anteriores

a → = ρ ¨   u → ρ +   ρ ˙   θ ˙   u → θ + ρ ˙   θ ˙   u → θ + ρ   θ ¨   u → θ + ρ   θ ˙   - θ ˙   u → ρ

a → = ρ ¨   u → ρ +   ρ ˙   θ ˙   u → θ + ρ ˙   θ ˙   u → θ + ρ   θ ¨   u → θ - ρ   θ ˙ 2   u → ρ

Colocando u → ρ e u → θ em evidencia

a → = ρ ¨ - ρ θ ˙ 2   u → ρ + [ 2 ρ ˙ θ ˙ + ρ θ ¨ ]   u → θ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Suponha que μ p θ =c o s θ i - +s e n θj - , u θ θ =- s e n θi - + c o s θj - , r t = p t u p ( θ ( t ) ) , com θ = θ ( t ) e p = p ( t ) deriváveis até a segunda ordem no intervalo I . N o t a ç ã o
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Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:b) g → t = s e nt . cos ⁡ t i → + e - 2 tj →
Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:e) g → t = ln ⁡ t i → + tj → + tk →
Determinar um vetor tangente à curva definida pela função dada no ponto indicado.b) g → t = t ,e t ,P 1 ,e