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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 25

Suponha que  F ( s )   =   £ { f ( t ) } existe para  s   >   a   ≥   0 .

(a)Mostre que, se  c  for uma constante positiva, então

L f c t = 1 c F s c ,   s > c a

Suponha que  F ( s )   =   £ { f ( t ) } existe para  s   >   a   ≥   0 .

(b)Mostre que, se  k  for uma constante positiva, então

L - 1 F k s = 1 k f t k

(c) Mostre que, se  a  e  b  forem constantes com  a   >   0 , então

L - 1 F a s + b = 1 a e - b t a f t a

Passo 1

Pela definição da transformação de Laplace.

L f t = F s = ∫ 0 ∞ e - s t f ( t ) d t

  1. Substituindo t por c t na definição, ficamos com:

    2. L f c t = F s = ∫ 0 ∞ e - ( s / c ) ( c t ) f ( c t ) d t

    Usaremos a substituição onde v = c t (então: t = v c   e   d t = 1 c d v ) :

    L f c t = F s = 1 c ∫ 0 ∞ e - ( s / c ) ( v ) f ( v ) d v

    Substituindo v com t na integral:

    L f c t = 1 c ∫ 0 ∞ e - ( s / c ) ( t ) f ( t ) d t = 1 s F s c = 1 c F s c

    Passo 2

  2. Substituir c = k na resposta do item anterior.

F k t = L f k t = 1 k F s k

Aplicando a transformação inversa de Laplace:

L - 1 F k t = 1 k L - 1 F s k

A transformada inversa de F pode ser denotada como f ( F   é a transformada inversa de f ).

L - 1 F k t = 1 k L - 1 F s k = 1 k f s k

Passo 2

(c ) Usando a definição :

L f a s + b = ∫ 0 ∞ e - ( a s + b ) t f ( t ) d t = ∫ 0 ∞ e - a s t - b t f ( t ) d t ∫ 0 ∞ e - a s t e - b t f ( t ) d t

Usando a substituição v = a t (quando t = v a   e   d t = 1 a d v ) :

L f a s + b = ∫ 0 ∞ e - a s t e - b t f ( t ) d t = ∫ 0 ∞ 1 a e - s v e - b v a f v a d t

Substituindo v por t :

L f a s + b = ∫ 0 ∞ 1 a e - s t e - b t a f t a d t = ∫ 0 ∞ e - s t 1 a e - b t a f t a d t

Aplicando a transformada inversa de Laplace:

L - 1 F a s + b = L - 1 ∫ 0 ∞ e - s t 1 a e - b t a f t a d t = 1 a e - b t a f t a

Resposta

(a) L f c t = 1 c ∫ 0 ∞ e - ( s / c ) ( t ) f ( t ) d t = 1 s F s c = 1 c F s c

(b) L - 1 F k t = 1 k L - 1 F s k = 1 k f s k

(c) L - 1 F a s + b = L - 1 ∫ 0 ∞ e - s t 1 a e - b t a f t a d t = 1 a e - b t a f t a

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