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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.Exercícios Adicionais e Avançados - Ex. 20

Mostre que

∬ (del^2 f ( x , y ))/(del x del y) d x d y

Sobre o retângulo x_0 <= x <= x_1 , y_0 <= y <= y_1 , é

f (x_1 , y_1) - f (x_0 , y_1) - f (x_1 , y_0) + f ( x_0 , y_0 )

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Para montar a integral dupla dada sobre o retângulo e os conjuntos de funções dadas vamos ter que,

int_(y_0)^(y_1) int_(x_0)^(x_1) (del^2 f ( x , y ))/(del x del y) d x d y = int_(y_0)^(y_1) [(del f (x , y))/(del y)]_(x_0)^(x_1) d y = int_(y_0)^(y_1) [(del f (x , y))/(del y) - (del f (x_0 , y))/(del y)] d x = [f (x_1 , y) - f (x_0 , y)]_(y_0)^(y_1) = f (x_1 , y_1) - f (x_0 , y_1) - f (x_1 , y_0) + f ( x_0 , y_0 )

Resposta

int_(y_0)^(y_1) int_(x_0)^(x_1) (del^2 f ( x , y ))/(del x del y) d x d y = int_(y_0)^(y_1) [(del f (x , y))/(del y)]_(x_0)^(x_1) d y = int_(y_0)^(y_1) [(del f (x , y))/(del y) - (del f (x_0 , y))/(del y)] d x = [f (x_1 , y) - f (x_0 , y)]_(y_0)^(y_1) = f (x_1 , y_1) - f (x_0 , y_1) - f (x_1 , y_0) + f ( x_0 , y_0 )

Exercícios de Livros Relacionados

Utilizando o Exercício 2, calcule: d )∬ A x ys e nx 1 + 4 y 2d x d y , onde A é o retângulo 0 ≤ x ≤ π 2 , 0 ≤ y ≤ 1 .
Utilizando o Exercício 2, calcule: ∬ A x c o s2 yd x d y , onde A é o retângulo 1 ≤ x ≤ 1 , - π 4 ≤ y ≤ π 4 .
Utilizando o Exercício 2, calcule: d )∬ A s e n 2 x 1 + 4 y 2d x d y , onde A é o retângulo 0 ≤ x ≤ π 2 , 0 ≤ y ≤ 1 2 .
Utilizando o Exercício 2, calcule: ∬ A x y 2d x d y , onde A é o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 2 ≤ y ≤ 3 .
Use o resultado do Exercício 17 para mostrar que 0 ≤ ∬ Rs e nπ x cos ⁡ π y d A ≤ 1 32 onde R = 0 , 1 4 × 1 4 , 1 2 .