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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.9 - Ex. 23

Verifique que div E = 0 para o campo elétrico E (x) = (epsilon Q)/(|x|^3) x .

Passo 1

Vamos lá, temos que:

E (x) = (epsilon Q x)/(|x|^3) = (epsilon Q ( x i + y j + z k ))/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2))) = epsilon Q F

Onde F é:

F = (x i + y j + z k)/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2)))

Vamos agora usar a fórmula:

d i v F = d i v (f G) = grad f . G + f d i v G

Passo 2

Como temos que f (x , y , z) = (1)/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2))) e G (x , y , z) = x i + y j + z k , vamos calcular d i v G :

d i v G = ((del x)/(del x) + (del y)/(del y) + (del z)/(del z)) = 1 + 1 + 1 = 3

Agora vamos calcular o gradiente:

grad f = f_x i + f_y j + f_z k

grad f = - (3 x)/((x^2 + y^2 + z^2)^((5)/(2))) i - (3 y)/((x^2 + y^2 + z^2)^((5)/(2))) j - (3 z)/((x^2 + y^2 + z^2)^((5)/(2))) k = - (3)/((x^2 + y^2 + z^2)^((5)/(2))) (x i + y j + z k)

Passo 3

Pronto, agora podemos substituir na fórmula:

d i v F = d i v (f G) = grad f . G + f d i v G = - (3)/((x^2 + y^2 + z^2)^((5)/(2))) (x i + y j + z k) (x i + y j + z k) + (1)/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2))) . 3 = - (3)/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2))) + (3)/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2))) = 0

Por fim temos que:

d i v E = epsilon Q d i v F = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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