Suponha que y = y ( x ) seja diferenciável e dada implicitamente pela equação x = F x 2 + y ,   y 2 , onde F ( u , v ) é supostamente diferenciável. Expresse d y d x em termos de x , y e das derivadas parciais de F .

Passo 1

A questão pede para acharmos d y d x = y ' ( x ) , dado que

x = F ( x 2 + y , y 2 )

Para isso, vamos derivar a equação toda com relação a x usando u = x 2 + y e v = y 2 . Fazendo isso,

1 = ∂ F ∂ u ⋅ d u d x + ∂ F ∂ v ⋅ d v d x

Note que eu usei d u d x e d v d x ao invés de derivadas parciais pois estamos tomando a derivada total com relação a x e lembre-se que y é função de x segundo o enunciado!

Passo 2

Desta forma,

d u d x = 2 x + d y d x = 2 x + y '

d v d x = 2 y d y d x = 2 y y '

Assim, temos que

1 = ∂ F ∂ u ⋅ 2 x + y ' + ∂ F ∂ v ⋅ 2 y y '

Passo 3

Portanto, isolando y ' :

∂ F ∂ u + 2 y ∂ F ∂ v = 1 - 2 x ∂ F ∂ u

Logo,

y ' = d y d x = 1 - 2 x ∂ F ∂ u ∂ F ∂ u + 2 y ∂ F ∂ v

Resposta

y ' = d y d x = 1 - 2 x ∂ F ∂ u ∂ F ∂ u + 2 y ∂ F ∂ v

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