A equação define implicitamente alguma função diferenciável ? Em caso afirmativo, expresse em termos de e .
Passo 1
A questão pede para dizermos se a equação define alguma função diferenciável . Para respondermos essa pergunta, temos que recorrer ao teorema da função implícita.
Para aplicarmos o teorema, temos que achar algum ponto tal que a função tenha derivada parcial com relação a não nula:
Calculando a derivada:
Passo 2
Note que o ponto está curva. Vamos calcular neste ponto:
Portanto, existe tal que essa derivada não se anula e as hipóteses do teorema da função implícita são satisfeitas. Assim, a equação define sim alguma função implícita.
Passo 3
Como a equação define uma função implícita, temos que
Já sabemos que
Já para a outra derivada:
Assim,