Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 1
A equação define implicitamente alguma função diferenciável ? Em caso afirmativo, expresse em termos de e .
Passo 1
A questão pede para dizermos se a equação define alguma função diferenciável . Para respondermos essa pergunta, temos que recorrer ao teorema da função implícita.
Para aplicarmos o teorema, temos que achar algum ponto tal que a função tenha derivada parcial com relação a não nula:
Calculando a derivada:
Passo 2
Note que o ponto está curva. Vamos calcular neste ponto:
Portanto, existe tal que essa derivada não se anula e as hipóteses do teorema da função implícita são satisfeitas. Assim, a equação define sim alguma função implícita.
Passo 3
Como a equação define uma função implícita, temos que
Já sabemos que
Já para a outra derivada:
Assim,
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
22. Seja g x , y = x f ( x 2 + y , 2 y ,2 x - y ) . Expresse ∂ g ∂ x e ∂ g ∂ y em termos das derivadas parciais de f
15. Seja g dada por g t = f x , y s e n ( 3 t ) , onde x = 2 t e y = 3 t . Verifique que g ' t = 3 f x , y cos 3 t + s e n 3 t 2 ∂ f ∂ x x , y + 3 ∂ f ∂ y x , y
5. Suponha que, para todo x , f 3 x ,x 3 = a r c t g x . a) Calcule ∂ f ∂ x 3,1 admitindo ∂ f ∂ y 1,3 = 2 b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 3 ,1 ,f 3,1
13. Prove que a função u = f ( x + a t ,y + b t ) , a e b constantes, é solução da equação a derivadas parciais ∂ u ∂ t = a ∂ u ∂ x + b ∂ u ∂ y
Calcule d z d t pelos dois processos descritos no exemplo 2 .b) z = x 2 + 3 y 2 , x = s e n ( t ) , y = c o s ( t )