A equação y 3 + x y + x 3 = 4 define implicitamente alguma função diferenciável y = y ( x ) ? Em caso afirmativo, expresse d y d x em termos de x e y .

Passo 1

A questão pede para dizermos se a equação y 3 + x y + x 3 - 4 = 0 define alguma função diferenciável y = y ( x ) . Para respondermos essa pergunta, temos que recorrer ao teorema da função implícita.

Para aplicarmos o teorema, temos que achar algum ponto ( x 0 , y 0 ) tal que a função F x , y = y 3 + x y + x 3 - 4 = 0 tenha derivada parcial com relação a y não nula:

∂ F ∂ y x 0 , y 0 ≠ 0

Calculando a derivada:

∂ F ∂ y = 3 y 2 + x

Passo 2

Note que o ponto 0 , 4 3 está curva. Vamos calcular ∂ F / ∂ y neste ponto:

∂ F ∂ y 0 , 4 3 = 3 4 2 3 ≠ 0

Portanto, existe ( x 0 , y 0 ) tal que essa derivada não se anula e as hipóteses do teorema da função implícita são satisfeitas. Assim, a equação define sim alguma função implícita.

Passo 3

Como a equação define uma função implícita, temos que

d y d x = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y

Já sabemos que

∂ F ∂ y = 3 y 2 + x

Já para a outra derivada:

∂ F ∂ x = y + 3 x 2

Assim,

d y d x = - 3 x 2 + y x + 3 y 2

Resposta

d y d x = - 3 x 2 + y x + 3 y 2

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