A equação define implicitamente alguma função diferenciável ? Em caso afirmativo, expresse em termos de e .
Passo 1
A questão pede para dizermos se a equação define alguma função diferenciável . Para respondermos essa pergunta, temos que recorrer ao teorema da função implícita.
Para aplicarmos o teorema, temos que achar algum ponto tal que a função tenha derivada parcial com relação a não nula:
Calculando a derivada:
Passo 2
Note que o ponto está curva. Vamos calcular neste ponto:
Portanto, existe tal que essa derivada não se anula e as hipóteses do teorema da função implícita são satisfeitas. Assim, a equação define sim alguma função implícita.
Passo 3
Como a equação define uma função implícita, temos que
Já sabemos que
Já para a outra derivada:
Assim,
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
22. Seja g(x, y) = x * f(x^2 + y, 2y, 2x - y) . Expresse ∂g / ∂x e ∂g / ∂y em termos das derivadas parciais de f
15. Seja g dada por g(t) = f(x, y) * sen(3t) , onde x = 2t e y = 3t . Verifique queg'(t) = 3 * f(x, y) * cos(3t) + sen(3t) [ 2 * ( ∂f/∂x (x, y) + 3 * ∂f/∂y (x, y)) ]
5. Suponha que, para todo x , f 3 x ,x 3 = a r c t g x . a) Calcule ∂ f ∂ x 3,1 admitindo ∂ f ∂ y 1,3 = 2 b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 3 ,1 ,f 3,1
13. Prove que a função u = f(x + a t, y + b t) , a e b constantes, é solução da equação a derivadas parciais∂u/∂t = a * ∂u/∂x + b * ∂u/∂y
Calcule d z / d t pelos dois processos descritos no exemplo 2 .b) z = x^2 + 3*y^2 , x = sen(t) , y = cos(t)