Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 1.3 - Ex. 66
Suponha que seja uma função ímpar e seja . A função é sempre uma função ímpar? E se for ímpar? E se for par?
Passo 1
Certo, então temos que pensar sobre composições de funções ímpares e pares para responder essa pergunta.
Se é uma função ímpar, então
Isso quer dizer que ela é simétrica em relação à origem. Se pegarmos dois valores opostos e colocarmos na função da teremos resultados opostos, como o exemplo:
Passo 2
Daí, quando a gente colocar os resultados achados em na função da , vamos achar .
Se for par, os valores opostos achados em vão resultar em um mesmo número, porque essa é a definição de função par (simetria em relação ao eixo :
Então é par quando é par.
Passo 3
Se for ímpar, os valores opostos de vão resultar em números novamente opostos, porque essa é a definição de função ímpar, como vimos ali em cima. Então é ímpar quando é ímpar.
Passo 4
Se não for nem par e nem ímpar, então a composição também não vai ser nem par e nem ímpar. Não haverá simetria alguma!
Resposta
A função , nesse caso, será par quando for par.
Será ímpar se for ímpar.
E não será nem par e nem ímpar, se a também não for nenhuma das duas.