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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 1

Suponha que ( 1 ,   1 ) seja um ponto crítico de uma função f com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre f ?

  1. f x x 1,1 = 4   ,   f x y 1,1 = 1   ,   f y y 1,1 = 2
  2. f x x 1,1 = 4 ,   f x y 1,1 = 3   ,   f y y 1,1 = 2

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade.

Aqui a gente quer analisar o ponto critico 1,1 de uma função.

Para dizermos se f ( a , b ) é ponto de máximo ou mínimo ou ponto sela devemos usar a fórmula

D a , b = f x x ⋅ f y y - f x y a , b ²

Se   D > 0   e   f x x > 0 , temos um mínimo local.

Se D > 0   e   f x x < 0 , temos um máximo local.

Se   D < 0 , então temos um ponto de sela.

Então a gente vai analisar esse ponto critico com base nas derivadas que nos deram.

Passo 2

  1. Fazendo então a primeira analise:

    2. D a , b = f x x ⋅ f y y - f x y a , b ²

      D 1,1 = f x x ( 1,1 ) . f y y ( 1,1 ) - f x y 1,1 ²

    Substituindo os valores:

    D 1,1 = 4 ⋅ 2 - 1 2 = 7

    D 1,1 > 0 , logo pelo teste da segunda derivada, f tem um mínimo local em ( 1,1 ) .

    Passo 3

  2. Fazendo a segunda analise:

D a , b = f x x ⋅ f y y - f x y a , b ²

Substituindo os valores:

D 1,1 = f x x ( 1,1 ) . f y y ( 1,1 ) - f x y 1,1 ²

D = 4 ⋅ 2 - 3 2 = - 1

D 1,1 < 0 , logo f tem um ponto de sela em ( 1,1 ) .

Resposta

  1. f tem um mínimo local em ( 1,1 ) .
  2. f tem um ponto de sela em ( 1,1 ) .
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14.14. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no computador, utilize-o com a janela de inspeção e o po
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14.15. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no computador, utilize-o com a janela de inspeção e o po
14.9. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no computador, utilize-o com a janela de inspeção e o pon