Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.

∫ 0 2 ∫ 0 2 - y ∫ 0 4 - y 2 d x d z d y

Passo 1

E aí, galera! Tudo firme?

A questão pede pra gente esboçar o sólido dado pela integral tripla:

∫ 0 2 ∫ 0 2 - y ∫ 0 4 - y 2 d x d z d y

Para entendermos onde está nosso sólido no espaço 3D e realizar o esboço, vamos pegar dos limites de integração em cada variável os limitantes do sólido.

Daí é só jogarmos em um software que traça sólidos 3D e visualizamos o sólido.

Bora lá!

Passo 2

Como temos uma integral do tipo

∭ E 1   d V = V ( E )

Então precisamos saber o que é E , pelas variações temos

E = x , y , z   0 ≤ x ≤ 4 - y 2 ,   0 ≤ z ≤ 2 - y ,   0 ≤ y ≤ 2 }

Repara que x e z são limitados em função de y . Então vamos ver essas igualdades:

Para z , teremos:

z = 2 - y

Como y varia de 0 até 2 , temos que z :

0 ≤ z ≤ 2 - y

Essa equação representa dois planos:

z = 0 e z = 2 - y

então vamos desenhar esses planos no gráfico.

Para x , teremos:

x = 4 - y 2

Essa equação descreve um cilindro, então vamos desenhar essa parte também no gráfico. Seguindo o mesmo raciocínio para, teremos que x

0 ≤ x ≤ 4 - y 2

Para y , temos:

0 ≤ y ≤ 2

Que são os planos

y = 0 e y = 2

Passo 3

Ufa! Quantas superfícies, né? O sólido que nos interessa é o que está limitado por essas superfícies. Então, esboçando somente nosso sólido, ficamos com:

Resposta

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