Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 73
Suponha que , e sejam polinômios e
para todo , exceto quando . Determine que para todo . (Sugestão: Use a continuidade.)
Passo 1
Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e teremos que provar que na situação dada.
Suponha que seja um numero real tal que . Enquanto nós podemos multiplicar:
Pelo não numero não zero para obter . Agora iremos supor que é um numero real tal que . Desde que e são polinômios, eles são contínuos, então:
Passo 2
Basta provar que as funções e têm o mesmo limite quando se aproxima de igual a 1. Lembre-se de que a adição (e, portanto, a subtração) de funções comuta com a tomada de limites, então
Uma vez que tem apenas um número finito de raízes, podemos escolher intervalos abertos e que não contenham nenhuma raiz de . Além disso, para todos os em ou . Portanto,
Isso prova que para todo pertencente aos números reais.
Resposta
Ver o desenvolvimento.