Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 6-c

6. Suponha que um tanque contendo determinado líquido tem uma saída próxima do fundo. Seja h(t) a altura da superfície do líquido acima da saída no instante t. O princípio de Torricelli2 diz que a velocidade υ do fluxo na saída é igual à velocidade de uma partícula em queda livre (sematrito) caindo da altura h.

(a) Mostre que υ = 2 g h   em que g é a aceleração da gravidade.(b) Igualando a taxa de saída à taxa de variação de líquido no tanque, mostre que h(t) satisfaz a equação

A h d h d t = - α a 2 g h  

em que A(h) é a área da seção reta do tanque na altura h, e a é a área da saída. A constante α é um coeficiente de contração responsável pelo fato observado de que a seção reta do fluxo(suave) de saída é menor do que a. O valor de α para a água é aproximadamente 0,6.

(c) Considere um tanque de água em forma de um cilindro circular reto 3 metros acima da saída. O raio do tanque é 1 m e o raio da saída circular é 0,1 m. Se o tanque estiver inicialmente cheio de água, determine quanto tempo vai levar para esvaziar o tanque até o nívelda saída.

Passo 1

Vamos usar a equação do item b) para solucionar nossa problema

A h d h d t = - α a 2 g h  

E para ficar mais fácil, vamos usar os dados do enunciado dentro da equação

A h = π 1 2

a = π 0,1 2

α = 0,6

g = 10

Assim nossa equação fica

A h d h d t = - α a 2 g h  

π d h d t = - 0,6   π ( 0,1 ) 2 20 h  

d h d t = - 6 1000 20 h  

Olha como ficou uma equação separável linda!!! Muito mais fácil de se revolver que antes

Passo 2

Vamos separar as variáveis da equação de cima

d h d t = - 6 1000 20 h  

1 20 h d h   = - 6 1000   d t

Integrando em ambos os lados temos

2 20 h = - 6 1000 t + c

h 5 = - 6 1000 t + c

Passo 3

Vamos usar os dados de contorno para encontrar c

h   0 =   3

h 5 = - 6 1000 t + c

3 5 = c

Assim nossa equação fica

h 5 = - 6 1000 t + 3 5

Queremos agora saber t para que

h   t = 0

0 = -   6 1000 t + 3 5  

t =     3 5 ⋅ 1000 6

t = 129   s

A unidade de tempo é segundo porque a gravidade calculamos em m / s 2 logo a resposta do tempo segue a da aceleração. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

t = 129   s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

19. Considere um lago, de volume constante V, contendo, no instante t, uma quantidade Q(t) de poluentes distribuídos uniformemente em todo o lago com uma concentração c(t), onde c(t) = Q(t)/V. Suponha
20. Uma bola com massa de 0,15 kg é jogada para cima, com velocidade inicial de 20 m/s, do tetode um prédio com 30 m de altura. Não leve em consideração a resistência do ar.(a) Encontre a altura máxim
19. Considere um lago, de volume constante V, contendo, no instante t, uma quantidade Q(t) de poluentes distribuídos uniformemente em todo o lago com uma concentração c(t), onde c(t) = Q(t)/V. Suponha
19. Considere um lago, de volume constante V, contendo, no instante t, uma quantidade Q(t) de poluentes distribuídos uniformemente em todo o lago com uma concentração c(t), onde c(t) = Q(t)/V. Suponha
23. Um paraquedista pesando 180 lb (incluindo o equipamento) cai verticalmente de uma altura de5000 pés** e abre o paraquedas depois de 10 s de queda livre. Suponha que a força deresistência do ar, qu