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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 50

Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.

Se u = f ( x , y ) , onde x = e s cos ⁡ t e y = e s sen ⁡ t , mostre que

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = e - 2 s ∂ 2 u ∂ s 2 + ∂ 2 u ∂ t 2

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de provar teorema com regra da cadeia, vamos lá!

A questão nos diz que há uma função do tipo u = f ( x ,   y ) onde x = x ( s ,   t ) e y = y ( s ,   t ) e pede para que provemos o seguinte:

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = e - 2 s ∂ 2 u ∂ s 2 + ∂ 2 u ∂ t 2

Certo, mas como fazemos isso sem nem ter a função u definida?

Vamos relembrar a regra da cadeia para funções múltiplas variáveis:

Para uma função no formato u ( x , y ) onde x = x ( s ,   t ) e y = y ( s ,   t ) , a derivada d u / d s pode ser definida como:

d u d s =   ∂ u ∂ x ⋅ ∂ x ∂ s + ∂ u ∂ y ⋅ ∂ y ∂ s

E a derivada d u / d t pode ser definida como:

d u d t =   ∂ u ∂ x ⋅ ∂ x ∂ s + ∂ u ∂ y ⋅ ∂ y ∂ s

Nós não podemos calcular d u / d x ou d u / d y mas veja que esses termos aparecem nessas fórmulas! Então vamos substituir d u / d s e d u / d t na expressão da questão e ver o que podemos fazer!

Passo 2

Vamos começar definindo as derivadas de x e y nas variáveis s e t !

Seja

x = e s cos ⁡ t

y = e s sen ⁡ t

Então vamos ter

∂ x ∂ s = e s cos ⁡ t

∂ y ∂ s = e s sen ⁡ t

∂ x ∂ t = - e s sen ⁡ t

∂ y ∂ t = e s cos ⁡ t

De forma que podemos atualizar as expressões de d u / d s e d u / d t !

∂ u ∂ s = ∂ u ∂ x e s cos ⁡ t + ∂ u ∂ y e s sen ⁡ t

∂ u ∂ t = - ∂ u ∂ x e s sen ⁡ t + ∂ u ∂ y e s cos ⁡ t

Mas observe que as derivadas da equação do enunciado são de segunda ordem, então vamos precisar derivar as expressões que acabamos de encontrar!

Passo 3

Assim, buscamos

∂ 2 u ∂ s 2 = ∂ ∂ s ∂ u ∂ s

Onde, ao aplicar a regra da cadeia novamente, temos

∂ 2 u ∂ s 2 = ∂ ∂ x ∂ u ∂ s ⋅ ∂ x ∂ s + ∂ ∂ y ∂ u ∂ s ⋅ ∂ y ∂ s

Para a gente não se perder vamos substituir ∂ x ∂ s e ∂ y ∂ s só no final, ok?

∂ 2 u ∂ s 2 = ∂ ∂ x ∂ u ∂ x ⋅ ∂ x ∂ s + ∂ u ∂ y ⋅ ∂ y ∂ s ⋅ ∂ x ∂ s + ∂ ∂ y ∂ u ∂ x ⋅ ∂ x ∂ s + ∂ u ∂ y ⋅ ∂ y ∂ s ⋅ ∂ y ∂ s

Expandindo (ainda mais) esses termos, nós ficamos com

∂ 2 u ∂ s 2 = ∂ ² u ∂ x ² ⋅ ∂ x ∂ s 2 + ∂ 2 u ∂ x ∂ y ⋅ ∂ y ∂ s ∂ x ∂ s + ∂ 2 u ∂ y ∂ x ⋅ ∂ x ∂ s ∂ y ∂ s + ∂ ² u ∂ y ² ⋅ ∂ y ∂ s 2

Antes de substituir vamos fazer o mesmo processo para a outra derivada segunda!

Agora buscamos

∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ ∂ t ∂ u ∂ t

Onde, ao aplicar a regra da cadeia novamente, temos

∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ ∂ x ∂ u ∂ t ⋅ ∂ x ∂ t + ∂ ∂ y ∂ u ∂ t ⋅ ∂ y ∂ t

∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ ∂ x ∂ u ∂ x ⋅ ∂ x ∂ t + ∂ u ∂ y ⋅ ∂ y ∂ t ⋅ ∂ x ∂ t + ∂ ∂ y ∂ u ∂ x ⋅ ∂ x ∂ t + ∂ u ∂ y ⋅ ∂ y ∂ t ⋅ ∂ y ∂ t

Expandindo esses termos, nós ficamos com

∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ ² u ∂ x ² ⋅ ∂ x ∂ t 2 + ∂ 2 u ∂ x ∂ y ⋅ ∂ y ∂ t ∂ x ∂ t + ∂ 2 u ∂ y ∂ x ⋅ ∂ x ∂ t ∂ y ∂ t + ∂ ² u ∂ y ² ⋅ ∂ y ∂ t 2

Substituindo ∂ x ∂ s e ∂ y ∂ s nessas duas derivadas nós ficamos com

∂ 2 u ∂ s 2 = ∂ 2 u ∂ x 2 ⋅ e s cos ⁡ t 2 + ∂ 2 u ∂ x ∂ y ⋅ e s sen ⁡ t e s cos ⁡ t

+ ∂ 2 u ∂ y ∂ x ⋅ e s cos ⁡ t e s sen ⁡ t + ∂ ² u ∂ y ² ⋅ e s sen ⁡ t 2

∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ 2 u ∂ x 2 ⋅ - e s sen ⁡ t 2 - ∂ 2 u ∂ x ∂ y ⋅ e s cos ⁡ t e s sen ⁡ t

- ∂ 2 u ∂ y ∂ x ⋅ e s sen ⁡ t e s cos ⁡ t + ∂ ² u ∂ y ² ⋅ e s cos ⁡ t 2

Observe que os termos com derivadas cruzadas vão se cancelar quando somarmos essas duas expressões! (Ainda bem)

Passo 4

Agora finalmente vamos testar a igualdade do enunciado!

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = e - 2 s ∂ 2 u ∂ s 2 + ∂ 2 u ∂ t 2

Substituindo os termos do lado esquerdo, temos

∂ 2 u ∂ s 2 + ∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ 2 u ∂ x 2 ⋅ e s cos ⁡ t 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 ⋅ e s sen ⁡ t 2 + ∂ 2 u ∂ x 2 ⋅ - e s sen ⁡ t 2 + ∂ ² u ∂ y ² ⋅ e s cos ⁡ t 2

∂ 2 u ∂ s 2 + ∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ 2 u ∂ x 2 ⋅ e 2 s cos ² ⁡ t + ∂ 2 u ∂ y 2 ⋅ e 2 s sen ² ⁡ t + ∂ 2 u ∂ x 2 ⋅ e 2 s sen ² ⁡ t + ∂ ² u ∂ y ² ⋅ e 2 s cos ² ⁡ t

∂ 2 u ∂ s 2 + ∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ 2 u ∂ x 2 ⋅ e 2 s cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t + ∂ 2 u ∂ y 2 ⋅ e 2 s cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t

Usando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1 nós ficamos com

∂ 2 u ∂ s 2 + ∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ 2 u ∂ x 2 ⋅ e 2 s + ∂ 2 u ∂ y 2 ⋅ e 2 s

∂ 2 u ∂ s 2 + ∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 e 2 s

E, dividindo ambos os lados por e 2 s (ou multiplicar por e - 2 s ) ficamos exatamente com a equação proposta no enunciado!

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = e - 2 s ∂ 2 u ∂ s 2 + ∂ 2 u ∂ t 2

Resposta

A expressão ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = e - 2 s ∂ 2 u ∂ s 2 + ∂ 2 u ∂ t 2

É válida!

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3. Considere a função g t = f a + h t , b + k t , com a ,b ,h e k constantes.a) Supondo f ( x , y ) de classe C 2 num aberto deR 2 , verifique que g ' ' t = h 2 ∂ 2 f ∂ x 2 x , y + 2 h k ∂ 2 f ∂ x∂ y
4. Considere a função h x , y = f x 2 + y 2 , x 2 - y 2 , onde f ( u , v ) é suposta de classe C 2 . Verifique que ∂ 2 h ∂ x 2 = 2 ∂ f ∂ u u , v + ∂ f ∂ v u , v + 4 x 2 ∂ 2 f ∂ u 2 u , v + 2 ∂ 2 f ∂ u
1. Expresse g ' ( t ) em termos de derivadas parciais de f , sendo g dada porc) g t = ∂ f ∂ x t 2 , 2 t + 5 ∂ f ∂ y ( s e n3 t ,t ) .
10. Suponha que f ( x , y ) satisfaça a equação ∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ 2 f ∂ t 2. (i)a) Verifique que g u , v = f x , t , onde x = u + v e t = u - v satisfaz a equação ∂ 2 g ∂ v∂ u = 0 . b) Detetermine uma c
8. Seja v (r , theta) = u ( x , y ) , onde x = r cos theta e y = r s e n theta . Verifique que(del^2 u)/(del x^2) + (del^2 u)/(del y^2) = (del^2 v)/(del r^2) + (1)/(r) (del v)/(del r) + (1)/(r^2) (del